Per comprendere la natura dello spazio quadridimensionale, viene comunemente impiegato uno strumento chiamato analogia dimensionale. L’analogia dimensionale è lo studio di come (n – 1) dimensioni si relazionano a n dimensioni, per poi dedurre come n dimensioni si relazionerebbero a (n + 1) dimensioni.
L’analogia dimensionale fu usata da Edwin Abbott Abbott nel libro Flatlandia, che narra la storia di un quadrato che vive in un mondo bidimensionale, come la superficie di un pezzo di carta. Dalla prospettiva di questo quadrato, un essere tridimensionale ha poteri apparentemente divini, come la capacità di rimuovere oggetti da una cassaforte senza romperla (spostandoli attraverso la terza dimensione), di vedere tutto ciò che dalla prospettiva bidimensionale è racchiuso dietro i muri, e di rimanere completamente invisibile stando a pochi centimetri di distanza nella terza dimensione.
Applicando l’analogia dimensionale, si può dedurre che un essere quadridimensionale sarebbe capace di imprese simili dalla prospettiva tridimensionale. Rudy Rucker lo illustra nel suo romanzo Spaceland, in cui il protagonista incontra esseri quadridimensionali che dimostrano tali poteri.
Sezioni trasversaliModifica
Quando un oggetto tridimensionale passa attraverso un piano bidimensionale, gli esseri bidimensionali in questo piano osserverebbero solo una sezione trasversale dell’oggetto tridimensionale all’interno di questo piano. Per esempio, se un palloncino sferico passasse attraverso un foglio di carta, gli esseri nella carta vedrebbero prima un singolo punto, poi un cerchio che si ingrandisce gradualmente, fino a raggiungere il diametro del palloncino, e poi diventa di nuovo più piccolo, fino a ridursi a un punto e poi scomparire. Allo stesso modo, se un oggetto quadridimensionale passasse attraverso una (iper)superficie tridimensionale, si potrebbe osservare una sezione trasversale tridimensionale dell’oggetto quadridimensionale – per esempio, una 4-sfera apparirebbe prima come un punto, poi come una sfera crescente, con la sfera che poi si restringe ad un singolo punto e poi scompare. Questo mezzo di visualizzare aspetti della quarta dimensione è stato usato nel romanzo Flatlandia e anche in diverse opere di Charles Howard Hinton.:11-14
ProiezioniModifica
Un’utile applicazione dell’analogia dimensionale nella visualizzazione di dimensioni superiori è la proiezione. Una proiezione è un modo per rappresentare un oggetto n-dimensionale in n – 1 dimensioni. Per esempio, gli schermi dei computer sono bidimensionali, e tutte le fotografie di persone, luoghi e cose tridimensionali sono rappresentate in due dimensioni proiettando gli oggetti su una superficie piatta. Così facendo, la dimensione ortogonale allo schermo (profondità) viene rimossa e sostituita con informazioni indirette. Anche la retina dell’occhio è una matrice bidimensionale di recettori, ma il cervello è in grado di percepire la natura di oggetti tridimensionali per inferenza da informazioni indirette (come ombreggiature, scorci, visione binoculare, ecc.) Gli artisti usano spesso la prospettiva per dare un’illusione di profondità tridimensionale alle immagini bidimensionali. Anche l’ombra, proiettata da un modello fittizio di griglia di un tesseratto rotante su una superficie piana, come mostrato nelle figure, è il risultato di proiezioni.
Similmente, gli oggetti nella quarta dimensione possono essere proiettati matematicamente nelle tre dimensioni familiari, dove possono essere esaminati più convenientemente. In questo caso, la “retina” dell’occhio quadridimensionale è una serie di recettori tridimensionali. Un ipotetico essere dotato di un tale occhio percepirebbe la natura degli oggetti quadridimensionali deducendo la profondità quadridimensionale dalle informazioni indirette delle immagini tridimensionali nella sua retina.
La proiezione prospettica di oggetti tridimensionali nella retina dell’occhio introduce artefatti come lo scorcio, che il cervello interpreta come profondità nella terza dimensione. Allo stesso modo, la proiezione prospettica da quattro dimensioni produce simili effetti di scorcio. Applicando l’analogia dimensionale, si può dedurre la “profondità” quadridimensionale da questi effetti.
Come illustrazione di questo principio, la seguente sequenza di immagini confronta varie viste del cubo tridimensionale con proiezioni analoghe del tesseratto quadridimensionale nello spazio tridimensionale.
| Cubo | Tesseratto | Descrizione | |
|---|---|---|---|
| L’immagine a sinistra è un cubo visto di faccia. L’analogo punto di vista del tesseract in 4 dimensioni è la proiezione prospettica cellula-prima, mostrata sulla destra. Si può tracciare un’analogia tra i due: proprio come il cubo proietta su un quadrato, il tesseratto proietta su un cubo.
Nota che le altre 5 facce del cubo non si vedono qui. Sono oscurate dalla faccia visibile. Allo stesso modo, le altre 7 celle del tesseratto non si vedono qui perché sono oscurate dalla cella visibile. |
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| L’immagine a sinistra mostra lo stesso cubo visto di taglio. Il punto di vista analogo di un tesseratto è la proiezione prospettica faccia-prima, mostrata sulla destra. Proprio come la proiezione del cubo sul bordo consiste di due trapezi, la proiezione frontale del tesseratto consiste di due frustoli.
Il bordo più vicino del cubo in questo punto di vista è quello che si trova tra le facce rossa e verde. Allo stesso modo, la faccia più vicina del tesseratto è quella che si trova tra le celle rosse e verdi. |
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| A sinistra c’è il cubo visto di faccia. Questo è analogo alla proiezione prospettica edge-first del tesseract, mostrata sulla destra. Proprio come la proiezione vertex-first del cubo consiste in 3 deltoidi che circondano un vertice, la proiezione edge-first del tesseract consiste in 3 volumi esaedrici che circondano un bordo. Proprio come il vertice più vicino del cubo è quello in cui si incontrano le tre facce, così lo spigolo più vicino del tesseract è quello al centro del volume di proiezione, dove si incontrano le tre celle. | |||
| Si può fare un’altra analogia tra la proiezione edge-first del tesseract e la proiezione edge-first del cubo. La proiezione edge-first del cubo ha due trapezi che circondano uno spigolo, mentre il tesseract ha tre volumi esaedrici che circondano uno spigolo. | |||
| A sinistra è il cubo visto corner-first. La proiezione prospettica vertex-first del tesseract è mostrata sulla destra. La proiezione vertex-first del cubo ha tre tetragoni che circondano un vertice, ma la proiezione vertex-first del tesseract ha quattro volumi esaedrici che circondano un vertice. Proprio come l’angolo più vicino del cubo è quello che si trova al centro dell’immagine, così il vertice più vicino del tesseratto non si trova sul confine del volume proiettato, ma al suo centro interno, dove tutte e quattro le celle si incontrano.
Nota che solo tre delle 6 facce del cubo possono essere viste qui, perché le altre 3 si trovano dietro queste tre facce, sul lato opposto del cubo. Allo stesso modo, solo 4 delle 8 celle del tesseratto possono essere viste qui; le altre 4 si trovano dietro queste 4 nella quarta direzione, sul lato lontano del tesseratto. |
OmbreModifica
Un concetto strettamente legato alla proiezione è la proiezione delle ombre. Per analogia dimensionale, la luce su un oggetto bidimensionale in un mondo bidimensionale proietterebbe un’ombra unidimensionale, e la luce su un oggetto unidimensionale in un mondo unidimensionale proietterebbe un’ombra zero-dimensionale, cioè un punto di non luce. Al contrario, si può dedurre che la luce su un oggetto quadridimensionale in un mondo quadridimensionale proietterebbe un’ombra tridimensionale.
Se la wireframe di un cubo è illuminata dall’alto, l’ombra risultante su una superficie piatta bidimensionale è un quadrato dentro un quadrato con gli angoli corrispondenti collegati. Allo stesso modo, se il wireframe di un tesseratto fosse illuminato “dall’alto” (nella quarta dimensione), la sua ombra sarebbe quella di un cubo tridimensionale dentro un altro cubo tridimensionale sospeso a mezz’aria (una superficie “piatta” da una prospettiva quadridimensionale). (Si noti che, tecnicamente, la rappresentazione visiva mostrata qui è in realtà un’immagine bidimensionale dell’ombra tridimensionale della figura wireframe quadridimensionale.)
Volumi confinantiModifica
L’analogia dimensionale aiuta anche a dedurre le proprietà di base degli oggetti in dimensioni superiori. Per esempio, gli oggetti bidimensionali sono delimitati da confini unidimensionali: un quadrato è delimitato da quattro bordi. Gli oggetti tridimensionali sono delimitati da superfici bidimensionali: un cubo è delimitato da 6 facce quadrate. Applicando l’analogia dimensionale, si può dedurre che un cubo quadridimensionale, noto come tesseratto, è delimitato da volumi tridimensionali. Ed è proprio così: la matematica dimostra che il tesseratto è delimitato da 8 cubi. Sapere questo è fondamentale per capire come interpretare una proiezione tridimensionale della tesseract. I confini del tesseratto si proiettano su volumi nell’immagine, non solo su superfici bidimensionali.
Ambito visivoModifica
Le persone hanno un’autopercezione spaziale come esseri in uno spazio tridimensionale, ma sono limitate visivamente a una dimensione in meno: l’occhio vede il mondo come una proiezione a due dimensioni, sulla superficie della retina. Supponendo che un essere quadridimensionale sia in grado di vedere il mondo in proiezione su un’ipersuperficie, anch’essa di una sola dimensione in meno, cioè a tre dimensioni, sarebbe in grado di vedere, per esempio, tutti i sei lati di una scatola opaca simultaneamente, e di fatto, ciò che è dentro la scatola allo stesso tempo, proprio come le persone possono vedere tutti e quattro i lati e simultaneamente l’interno di un rettangolo su un pezzo di carta. L’essere sarebbe in grado di discernere tutti i punti in un sottospazio tridimensionale simultaneamente, compresa la struttura interna di oggetti solidi tridimensionali, cose oscurate dai punti di vista umani in tre dimensioni su proiezioni bidimensionali. I cervelli ricevono immagini in due dimensioni e usano il ragionamento per aiutare ad immaginare oggetti tridimensionali.