Un filet de tesseract
Pour comprendre la nature de l’espace quadridimensionnel, un dispositif appelé analogie dimensionnelle est couramment employé. L’analogie dimensionnelle consiste à étudier comment (n – 1) dimensions se rapportent à n dimensions, puis à déduire comment n dimensions se rapporteraient à (n + 1) dimensions.
L’analogie dimensionnelle a été utilisée par Edwin Abbott Abbott dans le livre Flatland, qui raconte l’histoire d’un carré qui vit dans un monde bidimensionnel, comme la surface d’une feuille de papier. Du point de vue de ce carré, un être tridimensionnel possède des pouvoirs apparemment dignes d’un dieu, comme la capacité de retirer des objets d’un coffre-fort sans l’ouvrir (en les déplaçant à travers la troisième dimension), de voir tout ce qui, du point de vue bidimensionnel, est enfermé derrière des murs, et de rester complètement invisible en se tenant à quelques centimètres dans la troisième dimension.
En appliquant l’analogie dimensionnelle, on peut en déduire qu’un être quadridimensionnel serait capable de prouesses similaires du point de vue tridimensionnel. Rudy Rucker l’illustre dans son roman Spaceland, dans lequel le protagoniste rencontre des êtres quadridimensionnels qui font preuve de tels pouvoirs.
Sections transversalesEdit
Lorsqu’un objet tridimensionnel traverse un plan bidimensionnel, les êtres bidimensionnels dans ce plan n’observeraient qu’une section transversale de l’objet tridimensionnel dans ce plan. Par exemple, si un ballon sphérique traverse une feuille de papier, les êtres dans le papier verront d’abord un point unique, puis un cercle qui s’agrandit progressivement, jusqu’à atteindre le diamètre du ballon, puis qui se rétrécit à nouveau, jusqu’à devenir un point et disparaître. De même, si un objet quadridimensionnel traverse une (hyper)surface tridimensionnelle, on peut observer une coupe transversale tridimensionnelle de l’objet quadridimensionnel – par exemple, une sphère quadridimensionnelle apparaît d’abord sous la forme d’un point, puis d’une sphère qui s’agrandit, avant de se réduire à un point unique et de disparaître. Ce moyen de visualiser les aspects de la quatrième dimension a été utilisé dans le roman Flatland et également dans plusieurs œuvres de Charles Howard Hinton.:11-14
ProjectionsEdit
Une application utile de l’analogie dimensionnelle dans la visualisation des dimensions supérieures est la projection. Une projection est un moyen de représenter un objet à n dimensions en n – 1 dimensions. Par exemple, les écrans d’ordinateur sont bidimensionnels, et toutes les photographies de personnes, de lieux et de choses en trois dimensions sont représentées en deux dimensions en projetant les objets sur une surface plane. Ce faisant, la dimension orthogonale à l’écran (la profondeur) est supprimée et remplacée par des informations indirectes. La rétine de l’œil est également un réseau bidimensionnel de récepteurs, mais le cerveau est capable de percevoir la nature des objets tridimensionnels par déduction à partir d’informations indirectes (telles que l’ombrage, le raccourcissement, la vision binoculaire, etc.) Les artistes utilisent souvent la perspective pour donner une illusion de profondeur tridimensionnelle à des images bidimensionnelles. L’ombre, projetée par un modèle fictif de grille d’un tesseract en rotation sur une surface plane, comme le montrent les figures, est également le résultat de projections.
De même, les objets de la quatrième dimension peuvent être mathématiquement projetés dans les trois dimensions familières, où ils peuvent être examinés plus commodément. Dans ce cas, la » rétine » de l’œil quadridimensionnel est un réseau tridimensionnel de récepteurs. Un être hypothétique doté d’un tel œil percevrait la nature des objets quadridimensionnels en déduisant la profondeur quadridimensionnelle à partir des informations indirectes contenues dans les images tridimensionnelles de sa rétine.
La projection en perspective d’objets tridimensionnels dans la rétine de l’œil introduit des artefacts tels que le raccourcissement, que le cerveau interprète comme une profondeur dans la troisième dimension. De la même manière, la projection en perspective à partir de quatre dimensions produit des effets de raccourcissement similaires. En appliquant l’analogie dimensionnelle, on peut déduire de ces effets une « profondeur » quadridimensionnelle.
Pour illustrer ce principe, la séquence d’images suivante compare différentes vues du cube tridimensionnel avec des projections analogues du tesseract quadridimensionnel dans un espace tridimensionnel.
| Cube | Tesseract | Description | L’image de gauche est un cube vu de face. Le point de vue analogue du tesseract en 4 dimensions est la projection en perspective de la cellule d’abord, présentée à droite. On peut établir une analogie entre les deux : tout comme le cube se projette sur un carré, le tesseract se projette sur un cube.
Notez que les 5 autres faces du cube ne sont pas vues ici. Elles sont masquées par la face visible. De même, les 7 autres cellules du tesseract ne sont pas vues ici parce qu’elles sont obscurcies par la cellule visible. |
|---|---|---|
| L’image de gauche montre le même cube vu de côté. Le point de vue analogue d’un tesseract est la projection en perspective face-première, illustrée à droite. Tout comme la projection sur arête du cube est constituée de deux trapèzes, la projection sur face du tesseract est constituée de deux troncs d’arbre.
L’arête la plus proche du cube dans ce point de vue est celle qui se trouve entre les faces rouge et verte. De même, la face la plus proche du tesseract est celle qui se trouve entre les cellules rouges et vertes. |
||
| À gauche se trouve le cube vu en coin d’abord. C’est analogue à la projection en perspective bord-premier du tesseract, présentée à droite. De la même manière que la projection sommet-premier du cube consiste en 3 deltoïdes entourant un sommet, la projection bord-premier du tesseract consiste en 3 volumes hexaédriques entourant un bord. De même que le sommet le plus proche du cube est celui où les trois faces se rencontrent, de même l’arête la plus proche du tesseract est celle du centre du volume de projection, où les trois cellules se rencontrent. | ||
| Une analogie différente peut être établie entre la projection bord-premier du tesseract et la projection bord-premier du cube. La projection bord-premier du cube a deux trapèzes entourant un bord, tandis que le tesseract a trois volumes hexaédriques entourant un bord. | ||
| À gauche, le cube vu coin-premier. À droite, la projection en perspective vertex-first du tesseract. La projection vertex-first du cube a trois tétragones entourant un sommet, mais la projection vertex-first du tesseract a quatre volumes hexaédriques entourant un sommet. Tout comme le coin le plus proche du cube est celui qui se trouve au centre de l’image, le sommet le plus proche du tesseract ne se trouve pas à la limite du volume projeté, mais à son centre intérieur, là où les quatre cellules se rencontrent.
Notez que seules trois faces des 6 faces du cube peuvent être vues ici, car les 3 autres se trouvent derrière ces trois faces, sur le côté opposé du cube. De même, seules 4 des 8 cellules du tesseract peuvent être vues ici ; les 4 autres se trouvent derrière ces 4 dans la quatrième direction, sur le côté opposé du tesseract. |
Edition des ombres
Un concept étroitement lié à la projection est la projection des ombres.
Si une lumière est projetée sur un objet tridimensionnel, une ombre bidimensionnelle est projetée. Par analogie dimensionnelle, la lumière projetée sur un objet bidimensionnel dans un monde bidimensionnel projetterait une ombre unidimensionnelle, et la lumière sur un objet unidimensionnel dans un monde unidimensionnel projetterait une ombre de dimension zéro, c’est-à-dire un point de non-lumière. Dans l’autre sens, on peut en déduire que la lumière projetée sur un objet quadridimensionnel dans un monde quadridimensionnel projetterait une ombre tridimensionnelle.
Si l’armature d’un cube est éclairée par le haut, l’ombre qui en résulte sur une surface plane bidimensionnelle est un carré dans un carré dont les coins correspondants sont reliés. De même, si l’armature d’un tesseract était éclairée depuis le « haut » (dans la quatrième dimension), son ombre serait celle d’un cube tridimensionnel à l’intérieur d’un autre cube tridimensionnel suspendu dans les airs (une surface « plate » dans une perspective quadridimensionnelle). (Notez que, techniquement, la représentation visuelle montrée ici est en fait une image bidimensionnelle de l’ombre tridimensionnelle de la figure filaire quadridimensionnelle.)
Volumes limitesModification
L’analogie dimensionnelle aide également à déduire les propriétés de base des objets dans les dimensions supérieures. Par exemple, les objets bidimensionnels sont délimités par des frontières unidimensionnelles : un carré est délimité par quatre arêtes. Les objets tridimensionnels sont délimités par des surfaces bidimensionnelles : un cube est délimité par 6 faces carrées. En appliquant l’analogie dimensionnelle, on peut en déduire qu’un cube quadridimensionnel, appelé tesseract, est limité par des volumes tridimensionnels. Et c’est effectivement le cas : les mathématiques montrent que le tesseract est délimité par 8 cubes. Il est essentiel de savoir cela pour comprendre comment interpréter une projection tridimensionnelle du tesseract. Les limites du tesseract se projettent sur des volumes dans l’image, et pas simplement sur des surfaces bidimensionnelles.
Portée visuelleEdit
Les gens ont une auto-perception spatiale en tant qu’êtres dans un espace tridimensionnel, mais sont visuellement limités à une dimension de moins : l’œil voit le monde comme une projection à deux dimensions, sur la surface de la rétine. En supposant qu’un être quadridimensionnel soit capable de voir le monde sous forme de projections sur une hypersurface, également en une seule dimension de moins, c’est-à-dire en trois dimensions, il serait capable de voir, par exemple, les six côtés d’une boîte opaque simultanément, et en fait, ce qui se trouve à l’intérieur de la boîte en même temps, tout comme les gens peuvent voir les quatre côtés et simultanément l’intérieur d’un rectangle sur une feuille de papier. L’être serait capable de discerner simultanément tous les points d’un sous-espace tridimensionnel, y compris la structure interne d’objets tridimensionnels solides, des choses obscurcies par les points de vue humains en trois dimensions sur des projections bidimensionnelles. Le cerveau reçoit des images en deux dimensions et utilise le raisonnement pour aider à se représenter des objets tridimensionnels.