Een net van een tesseract
Om de aard van de vierdimensionale ruimte te begrijpen, wordt vaak een methode gebruikt die dimensionale analogie wordt genoemd. Dimensie-analogie is de studie van hoe (n – 1) dimensies zich verhouden tot n dimensies, en dan af te leiden hoe n dimensies zich zouden verhouden tot (n + 1) dimensies.
Dimensie-analogie werd gebruikt door Edwin Abbott Abbott in het boek Flatland, dat een verhaal vertelt over een vierkant dat leeft in een tweedimensionale wereld, zoals het oppervlak van een stuk papier. Vanuit het perspectief van dit vierkant heeft een driedimensionaal wezen schijnbaar goddelijke krachten, zoals het vermogen om voorwerpen uit een kluis te halen zonder deze open te breken (door ze over de derde dimensie te verplaatsen), om alles te zien wat vanuit het tweedimensionale perspectief achter muren is opgesloten, en om volledig onzichtbaar te blijven door op een paar centimeter afstand in de derde dimensie te gaan staan.
Door de dimensionale analogie toe te passen, kan men afleiden dat een vierdimensionaal wezen tot soortgelijke prestaties in staat zou zijn vanuit het driedimensionale perspectief. Rudy Rucker illustreert dit in zijn roman Spaceland, waarin de hoofdpersoon vierdimensionale wezens tegenkomt die dergelijke krachten vertonen.
DoorsnedenEdit
Als een driedimensionaal voorwerp door een tweedimensionaal vlak gaat, zouden tweedimensionale wezens in dit vlak alleen een doorsnede van het driedimensionale voorwerp in dit vlak waarnemen. Als bijvoorbeeld een bolvormige ballon door een vel papier zou gaan, zouden wezens in het papier eerst een enkel punt zien, dan een cirkel die geleidelijk groter wordt, tot hij de diameter van de ballon bereikt, en dan weer kleiner wordt, tot hij tot een punt krimpt en dan verdwijnt. Op dezelfde manier zou men, als een vierdimensionaal voorwerp door een driedimensionaal (hyper)oppervlak gaat, een driedimensionale doorsnede van het vierdimensionale voorwerp kunnen waarnemen – een 4-bol zou bijvoorbeeld eerst als een punt verschijnen, dan als een groeiende bol, waarna de bol tot een enkel punt zou krimpen en vervolgens zou verdwijnen. Deze manier om aspecten van de vierde dimensie te visualiseren werd gebruikt in de roman Flatland en ook in verschillende werken van Charles Howard Hinton.:11-14
ProjectiesEdit
Een nuttige toepassing van dimensionale analogie bij het visualiseren van hogere dimensies is in projectie. Een projectie is een manier om een n-dimensionaal object in n – 1 dimensies weer te geven. Computerschermen zijn bijvoorbeeld tweedimensionaal, en alle foto’s van driedimensionale mensen, plaatsen en dingen worden tweedimensionaal voorgesteld door ze te projecteren op een plat vlak. Op die manier wordt de dimensie loodrecht op het scherm (diepte) verwijderd en vervangen door indirecte informatie. Het netvlies van het oog is ook een tweedimensionale reeks receptoren, maar de hersenen zijn in staat de aard van driedimensionale voorwerpen waar te nemen door gevolgtrekking uit indirecte informatie (zoals schaduwen, verkorting, binoculair zicht, enz.). Kunstenaars gebruiken vaak perspectief om aan tweedimensionale afbeeldingen een illusie van driedimensionale diepte te geven. De schaduw, geworpen door een fictief rastermodel van een draaiende tesseract op een plat vlak, zoals in de figuren, is ook het resultaat van projecties.
Op soortgelijke wijze kunnen voorwerpen in de vierde dimensie wiskundig worden geprojecteerd naar de vertrouwde drie dimensies, waar ze gemakkelijker kunnen worden onderzocht. In dit geval is het “netvlies” van het vierdimensionale oog een driedimensionale verzameling van receptoren. Een hypothetisch wezen met zo’n oog zou de aard van vier-dimensionale objecten waarnemen door vier-dimensionale diepte af te leiden uit indirecte informatie in de driedimensionale beelden in zijn netvlies.
De perspectivische projectie van driedimensionale objecten in het netvlies van het oog introduceert artefacten zoals foreshortening, die de hersenen interpreteren als diepte in de derde dimensie. Op dezelfde manier veroorzaakt perspectiefprojectie vanuit vier dimensies vergelijkbare verkortende effecten. Door dimensionale analogie toe te passen, kan men uit deze effecten vierdimensionale “diepte” afleiden.
Als illustratie van dit principe vergelijkt de volgende reeks afbeeldingen verschillende aanzichten van de driedimensionale kubus met analoge projecties van de vierdimensionale tesseract in de driedimensionale ruimte.
| Kubus | Tesseract | Beschrijving |
|---|---|---|
| Het linker beeld is een kubus, van boven naar beneden gezien. Het analoge gezichtspunt van de tesseract in 4 dimensies is de cel-eerste perspectief projectie, rechts afgebeeld. Men kan een analogie trekken tussen de twee: net zoals de kubus projecteert op een vierkant, projecteert de tesseract op een kubus.
Merk op dat de andere 5 vlakken van de kubus hier niet te zien zijn. Zij worden aan het oog onttrokken door het zichtbare vlak. Op dezelfde manier zijn de andere 7 cellen van de tesseract hier niet te zien omdat ze door de zichtbare cel aan het zicht worden onttrokken. |
||
| Het plaatje links toont dezelfde kubus, gezien op de rand. Het analoge gezichtspunt van een tesseract is de gezicht-eerst perspectief projectie, rechts afgebeeld. Net zoals de edge-first projectie van de kubus bestaat uit twee trapezoïden, bestaat de face-first projectie van de tesseract uit twee frustums.
De dichtstbijzijnde rand van de kubus in dit gezichtspunt is de rand die tussen de rode en groene vlakken ligt. Evenzo is het dichtstbijzijnde gezicht van de tesseract het gezicht dat tussen de rode en groene cellen ligt. |
||
| Links is de kubus hoek-eerst bekeken. Dit is analoog aan de rand-eerst perspectief projectie van de tesseract, rechts afgebeeld. Net zoals de hoekpunt-eerste projectie van de kubus bestaat uit 3 delta’s rond een hoekpunt, bestaat de rand-eerste projectie van de tesseract uit 3 hexahedrale volumes rond een rand. Zoals het dichtstbijzijnde hoekpunt van de kubus het hoekpunt is waar de drie vlakken elkaar raken, zo is de dichtstbijzijnde rand van de tesseract het hoekpunt in het centrum van het projectievolume, waar de drie cellen elkaar raken. | ||
| Een andere analogie kan worden getrokken tussen de rand-eerste projectie van de tesseract en de rand-eerste projectie van de kubus. De edge-first projectie van de kubus heeft twee trapezoïden rond een rand, terwijl de tesseract drie hexahedrale volumes rond een rand heeft. | ||
| Links is de kubus gezien hoek-eerst. Rechts is de hoekpunt-eerste perspectiefprojectie van de tesseract te zien. De vertex-first projectie van de kubus heeft drie tetragons rond een hoekpunt, maar de vertex-first projectie van de tesseract heeft vier hexahedrale volumes rond een hoekpunt. Net zoals het dichtstbijzijnde hoekpunt van de kubus het hoekpunt is dat in het midden van het beeld ligt, ligt het dichtstbijzijnde hoekpunt van de tesseract niet op de grens van het geprojecteerde volume, maar in het midden ervan, waar alle vier de cellen samenkomen.
Merk op dat hier slechts drie vlakken van de 6 vlakken van de kubus te zien zijn, omdat de andere 3 achter deze drie vlakken liggen, aan de tegenovergestelde kant van de kubus. Op dezelfde manier zijn hier slechts 4 van de 8 cellen van de tesseract te zien; de overige 4 liggen achter deze 4 in de vierde richting, aan de andere kant van de tesseract. |
SchaduwenEdit
Een begrip dat nauw verwant is aan projectie is het werpen van schaduwen.
Als er licht op een driedimensionaal voorwerp wordt geschenen, wordt er een tweedimensionale schaduw geworpen. Naar dimensionale analogie zou licht op een tweedimensionaal voorwerp in een tweedimensionale wereld een eendimensionale schaduw werpen, en licht op een eendimensionaal voorwerp in een eendimensionale wereld zou een nul-dimensionale schaduw werpen, dat wil zeggen een punt van niet-licht. Omgekeerd kan men afleiden dat licht op een vierdimensionaal voorwerp in een vierdimensionale wereld een driedimensionale schaduw zou werpen.
Als het geraamte van een kubus van bovenaf wordt verlicht, is de resulterende schaduw op een plat tweedimensionaal oppervlak een vierkant binnen een vierkant met de overeenkomstige hoeken verbonden. Op dezelfde manier, als het wireframe van een tesseract van “boven” (in de vierde dimensie) zou worden belicht, zou de schaduw die zijn van een driedimensionale kubus binnen een andere driedimensionale kubus die in de lucht hangt (een “plat” oppervlak vanuit een vierdimensionaal perspectief). (Merk op dat, technisch gezien, de hier getoonde visuele voorstelling eigenlijk een tweedimensionaal beeld is van de driedimensionale schaduw van de vierdimensionale wireframe figuur.)
Bounding volumesEdit
Dimensionale analogie helpt ook bij het afleiden van basiseigenschappen van objecten in hogere dimensies. Bijvoorbeeld, tweedimensionale objecten worden begrensd door eendimensionale grenzen: een vierkant wordt begrensd door vier randen. Driedimensionale objecten worden begrensd door tweedimensionale oppervlakken: een kubus wordt begrensd door 6 vierkante vlakken. Door dimensionale analogie toe te passen, kan men afleiden dat een vier-dimensionale kubus, die men een tesseract noemt, begrensd wordt door driedimensionale volumes. En inderdaad, dit is het geval: de wiskunde toont aan dat de tesseract wordt begrensd door 8 kubussen. Dit te weten is de sleutel om te begrijpen hoe een driedimensionale projectie van de vlakvulling moet worden geïnterpreteerd. De grenzen van de tesseract projecteren op volumes in het beeld, niet slechts op tweedimensionale oppervlakken.
Visuele scopeEdit
Mensen hebben een ruimtelijke zelfperceptie als wezens in een driedimensionale ruimte, maar zijn visueel beperkt tot één dimensie minder: het oog ziet de wereld als een projectie naar twee dimensies, op het oppervlak van het netvlies. Stel dat een vierdimensionaal wezen in staat zou zijn de wereld te zien in projecties naar een hypersurface, ook slechts één dimensie minder, d.w.z. naar drie dimensies, dan zou het in staat zijn om bijvoorbeeld alle zes zijden van een ondoorzichtige doos tegelijkertijd te zien, en in feite ook wat zich binnenin de doos bevindt, net zoals mensen alle vier zijden en tegelijkertijd de binnenkant van een rechthoek op een stuk papier kunnen zien. Het wezen zou in staat zijn alle punten in een driedimensionale deelruimte tegelijkertijd te onderscheiden, met inbegrip van de inwendige structuur van vaste driedimensionale voorwerpen, dingen die voor menselijke gezichtspunten in drie dimensies verborgen zijn op tweedimensionale projecties. Hersenen ontvangen beelden in twee dimensies en gebruiken redeneringen om driedimensionale objecten te helpen afbeelden.