Para entender la naturaleza del espacio cuatridimensional, se suele emplear un recurso llamado analogía dimensional. La analogía dimensional es el estudio de cómo (n – 1) dimensiones se relacionan con n dimensiones, y luego inferir cómo n dimensiones se relacionarían con (n + 1) dimensiones.
La analogía dimensional fue utilizada por Edwin Abbott Abbott en el libro Flatland, que narra una historia sobre un cuadrado que vive en un mundo bidimensional, como la superficie de un papel. Desde la perspectiva de este cuadrado, un ser tridimensional tiene poderes aparentemente divinos, como la capacidad de sacar objetos de una caja fuerte sin romperla (moviéndolos a través de la tercera dimensión), de ver todo lo que desde la perspectiva bidimensional está encerrado detrás de las paredes, y de permanecer completamente invisible situándose a unos pocos centímetros en la tercera dimensión.
Aplicando la analogía dimensional, se puede inferir que un ser cuatridimensional sería capaz de hazañas similares desde la perspectiva tridimensional. Rudy Rucker lo ilustra en su novela Spaceland, en la que el protagonista se encuentra con seres cuatridimensionales que demuestran tales poderes.
Secciones transversalesEditar
Como un objeto tridimensional pasa a través de un plano bidimensional, los seres bidimensionales en este plano sólo observarían una sección transversal del objeto tridimensional dentro de este plano. Por ejemplo, si un globo esférico pasara a través de una hoja de papel, los seres en el papel verían primero un solo punto, luego un círculo que se va agrandando gradualmente, hasta alcanzar el diámetro del globo, y luego se vuelve a achicar, hasta que se reduce a un punto y luego desaparece. Del mismo modo, si un objeto cuatridimensional pasara por una (hiper)superficie tridimensional, se podría observar una sección transversal tridimensional del objeto cuatridimensional; por ejemplo, una cuatrosfera aparecería primero como un punto, luego como una esfera que crece, para después encogerse hasta un solo punto y luego desaparecer. Esta forma de visualizar aspectos de la cuarta dimensión se utilizó en la novela Flatland y también en varias obras de Charles Howard Hinton:11-14
ProyeccionesEditar
Una aplicación útil de la analogía dimensional en la visualización de las dimensiones superiores es en la proyección. Una proyección es una forma de representar un objeto n-dimensional en n – 1 dimensiones. Por ejemplo, las pantallas de ordenador son bidimensionales, y todas las fotografías de personas, lugares y cosas tridimensionales se representan en dos dimensiones proyectando los objetos sobre una superficie plana. De este modo, se elimina la dimensión ortogonal a la pantalla (profundidad) y se sustituye por información indirecta. La retina del ojo también es un conjunto bidimensional de receptores, pero el cerebro es capaz de percibir la naturaleza de los objetos tridimensionales por inferencia a partir de información indirecta (como el sombreado, el escorzo, la visión binocular, etc.). Los artistas suelen utilizar la perspectiva para dar una ilusión de profundidad tridimensional a los cuadros bidimensionales. La sombra, proyectada por un modelo de rejilla ficticio de un teseracto giratorio sobre una superficie plana, como se muestra en las figuras, es también el resultado de proyecciones.
De forma similar, los objetos de la cuarta dimensión pueden proyectarse matemáticamente a las conocidas tres dimensiones, donde pueden examinarse más cómodamente. En este caso, la «retina» del ojo cuatridimensional es un conjunto tridimensional de receptores. Un hipotético ser con un ojo así percibiría la naturaleza de los objetos cuatridimensionales deduciendo la profundidad cuatridimensional a partir de la información indirecta de las imágenes tridimensionales de su retina.
La proyección en perspectiva de los objetos tridimensionales en la retina del ojo introduce artefactos como el escorzo, que el cerebro interpreta como profundidad en la tercera dimensión. Del mismo modo, la proyección en perspectiva de cuatro dimensiones produce efectos de escorzo similares. Aplicando la analogía dimensional, se puede inferir la «profundidad» cuatridimensional a partir de estos efectos.
Como ilustración de este principio, la siguiente secuencia de imágenes compara varias vistas del cubo tridimensional con proyecciones análogas del teseracto cuatridimensional en el espacio tridimensional.
| Cubo | Teseracto | Descripción | La imagen de la izquierda es un cubo visto de frente. El punto de vista análogo del teseracto en 4 dimensiones es la proyección en perspectiva de la célula, que se muestra a la derecha. Se puede establecer una analogía entre ambos: al igual que el cubo se proyecta sobre un cuadrado, el teseracto se proyecta sobre un cubo.
Nótese que las otras 5 caras del cubo no se ven aquí. Están ocultas por la cara visible. Del mismo modo, las otras 7 celdas del teseracto no se ven aquí porque están oscurecidas por la celda visible. |
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| La imagen de la izquierda muestra el mismo cubo visto de canto. El punto de vista análogo de un teseracto es la proyección en perspectiva de cara, que se muestra a la derecha. Al igual que la proyección de aristas del cubo consiste en dos trapecios, la proyección de caras del teseracto consiste en dos frustraciones.
La arista más cercana del cubo en este punto de vista es la que se encuentra entre las caras roja y verde. Del mismo modo, la cara más cercana del teseracto es la que se encuentra entre las celdas rojas y verdes. |
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| A la izquierda está el cubo visto en la esquina primero. Esto es análogo a la proyección en perspectiva de la arista primero del teseracto, que se muestra a la derecha. Al igual que la proyección de vértices del cubo consiste en 3 deltoides que rodean un vértice, la proyección de aristas del teseracto consiste en 3 volúmenes hexaédricos que rodean una arista. Al igual que el vértice más cercano del cubo es aquel en el que confluyen las tres caras, la arista más cercana del teseracto es la que se encuentra en el centro del volumen de proyección, donde confluyen las tres celdas. | Se puede establecer una analogía diferente entre la proyección de aristas del teseracto y la proyección de aristas del cubo. La proyección de aristas del cubo tiene dos trapezoides que rodean una arista, mientras que el teseracto tiene tres volúmenes hexaédricos que rodean una arista. | ||
| A la izquierda está el cubo visto de forma angular. A la derecha se muestra la proyección en perspectiva de vértices del teseracto. La proyección de vértice primero del cubo tiene tres tetragones rodeando un vértice, pero la proyección de vértice primero del teseracto tiene cuatro volúmenes hexaédricos rodeando un vértice. Al igual que la esquina más cercana del cubo es la que se encuentra en el centro de la imagen, el vértice más cercano del teseracto no se encuentra en el límite del volumen proyectado, sino en su centro interior, donde se encuentran las cuatro celdas.
Nótese que aquí sólo se pueden ver tres caras de las 6 del cubo, porque las otras 3 se encuentran detrás de estas tres caras, en el lado opuesto del cubo. Del mismo modo, aquí sólo se pueden ver 4 de las 8 celdas del teseracto; las 4 restantes se encuentran detrás de estas 4 en la cuarta dirección, en el lado opuesto del teseracto. |
SombrasEditar
Un concepto estrechamente relacionado con la proyección es la proyección de sombras.
Si se proyecta una luz sobre un objeto tridimensional, se proyecta una sombra bidimensional. Por analogía dimensional, la luz proyectada sobre un objeto bidimensional en un mundo bidimensional arrojaría una sombra unidimensional, y la luz sobre un objeto unidimensional en un mundo unidimensional arrojaría una sombra cero-dimensional, es decir, un punto de no-luz. Por el contrario, se puede deducir que la luz que incide sobre un objeto cuatridimensional en un mundo cuatridimensional proyecta una sombra tridimensional.
Si la estructura de un cubo se ilumina desde arriba, la sombra resultante en una superficie plana bidimensional es un cuadrado dentro de otro cuadrado con las esquinas correspondientes conectadas. Del mismo modo, si la estructura metálica de un teseracto estuviera iluminada desde «arriba» (en la cuarta dimensión), su sombra sería la de un cubo tridimensional dentro de otro cubo tridimensional suspendido en el aire (una superficie «plana» desde una perspectiva cuatridimensional). (Obsérvese que, técnicamente, la representación visual mostrada aquí es en realidad una imagen bidimensional de la sombra tridimensional de la figura cuatridimensional en forma de alambre.)
Volúmenes límiteEditar
La analogía dimensional también ayuda a inferir propiedades básicas de los objetos en dimensiones superiores. Por ejemplo, los objetos bidimensionales están delimitados por fronteras unidimensionales: un cuadrado está delimitado por cuatro aristas. Los objetos tridimensionales están limitados por superficies bidimensionales: un cubo está limitado por 6 caras cuadradas. Aplicando la analogía dimensional, se puede deducir que un cubo cuatridimensional, conocido como teseracto, está limitado por volúmenes tridimensionales. Y, efectivamente, así es: las matemáticas demuestran que el teseracto está limitado por 8 cubos. Saber esto es clave para entender cómo interpretar una proyección tridimensional del teseracto. Los límites del teseracto se proyectan a volúmenes en la imagen, no a meras superficies bidimensionales.
Ámbito visualEditar
Las personas tienen una autopercepción espacial como seres en un espacio tridimensional, pero están restringidas visualmente a una dimensión menos: el ojo ve el mundo como una proyección a dos dimensiones, en la superficie de la retina. Suponiendo que un ser cuatridimensional fuera capaz de ver el mundo en proyecciones a una hipersuperficie, también de una dimensión menos, es decir, a tres dimensiones, sería capaz de ver, por ejemplo, los seis lados de una caja opaca simultáneamente, y de hecho, lo que hay dentro de la caja al mismo tiempo, al igual que las personas pueden ver los cuatro lados y simultáneamente el interior de un rectángulo en un papel. El ser sería capaz de discernir simultáneamente todos los puntos de un subespacio tridimensional, incluida la estructura interna de los objetos sólidos tridimensionales, cosas oscurecidas para los puntos de vista humanos en tres dimensiones en proyecciones bidimensionales. Los cerebros reciben imágenes en dos dimensiones y utilizan el razonamiento para ayudar a imaginar los objetos tridimensionales.