Podstawy prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo jest gałęzią matematyki, która zajmuje się prawdopodobieństwem wystąpienia pewnych wyników. Istnieje pięć podstawowych zasad, lub aksjomatów, które należy zrozumieć podczas studiowania podstaw prawdopodobieństwa.
Cele nauczania
Wyjaśnić najbardziej podstawowe i najważniejsze zasady w określaniu prawdopodobieństwa zdarzenia
Kluczowe wnioski
Kluczowe punkty
- Prawdopodobieństwo jest liczbą, którą można przypisać wynikom i zdarzeniom. Zawsze jest większe lub równe zero i mniejsze lub równe jeden.
- Suma prawdopodobieństw wszystkich wyników musi być równa 1.
- Jeśli dwa zdarzenia nie mają wspólnych wyników, prawdopodobieństwo wystąpienia jednego lub drugiego jest sumą ich indywidualnych prawdopodobieństw.
- Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie wystąpi to 1 minus prawdopodobieństwo, że zdarzenie wystąpi.
- Dwa zdarzenia \tekst{A} i \tekst{B} są niezależne, jeśli wiedza, że jedno z nich wystąpi nie zmienia prawdopodobieństwa, że drugie wystąpi.
KEY TERMS
- eksperyment: Coś, co jest zrobione, że produkuje mierzalne wyniki, zwane wyniki.
- wynik: Jeden z indywidualnych wyników, które mogą wystąpić w eksperymencie.
- zdarzenie: Podzbiór przestrzeni próbki.
- przestrzeń próbki: Zbiór wszystkich wyników eksperymentu.
W prawdopodobieństwie dyskretnym zakładamy dobrze zdefiniowany eksperyment, taki jak rzucanie monetą lub rzucanie kością. Każdy indywidualny wynik, który może wystąpić nazywany jest wynikiem. Zbiór wszystkich wyników nazywamy przestrzenią prób, a dowolny podzbiór przestrzeni prób nazywamy zdarzeniem.
Na przykład, rozważmy eksperyment polegający na rzuceniu monetą dwa razy. Istnieją cztery indywidualne wyniki, mianowicie \tekst{HH},\tekst{HT},\tekst{TH},\tekst{T}. Przestrzeń próby jest więc \tekst{HHH},\tekst{HT},\tekst{TH},\t}. Zdarzeniem „występuje co najmniej jedna głowa” byłby zbiór \tekst{HHH},\tekst{HT},\tekst{TH}}. Gdyby moneta była normalną monetą, przypisalibyśmy prawdopodobieństwo 1/4 do każdego wyniku.
W teorii prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo \tekst{P} jakiegoś zdarzenia \tekst{E}, oznaczane jako \tekst{P}lewa(\tekst{E}prawa), jest zwykle zdefiniowane w taki sposób, że \tekst{P} spełnia pewną liczbę aksjomatów lub reguł. Najbardziej podstawowe i najważniejsze reguły są wymienione poniżej.
Reguły prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo jest liczbą. Jest zawsze większe lub równe zeru, oraz mniejsze lub równe jedynce. Może być zapisane jako 0:lewa strona(prawa strona). Zdarzenie niemożliwe, lub zdarzenie, które nigdy nie występuje, ma prawdopodobieństwo 0. Zdarzenie, które zawsze występuje, ma prawdopodobieństwo 1. Zdarzenie o prawdopodobieństwie 0,5 wystąpi w połowie przypadków.
Suma prawdopodobieństw wszystkich możliwości musi być równa 1. Pewien wynik musi wystąpić w każdej próbie, a suma wszystkich prawdopodobieństw wynosi 100%, czyli w tym przypadku 1. Można to zapisać jako \text{P}left(\text{S}right)=1, gdzie \tekst{S} reprezentuje całą przestrzeń próby.
Jeśli dwa zdarzenia nie mają wspólnych wyników, prawdopodobieństwo wystąpienia jednego lub drugiego jest sumą ich indywidualnych prawdopodobieństw. Jeśli jedno zdarzenie występuje w 30% prób, inne zdarzenie występuje w 20% prób, a te dwa zdarzenia nie mogą wystąpić razem (jeśli są rozłączne), to prawdopodobieństwo, że jedno lub drugie wystąpi wynosi 30%+20%=50%. Jest to czasami nazywane regułą dodawania i może być uproszczone w następujący sposób: \tekst{P}Lewy(\tekst{A} \ lub} \tekst{B} \prawy)= \tekst{P}Lewy(\tekst{A} \prawy)+ \tekst{P}Lewy(\tekst{B} \prawy). Słowo „lub” oznacza w matematyce to samo, co unia, która posługuje się następującym symbolem: ∗up. Tak więc, gdy tekst{A} i tekst{B} są rozłączne, mamy \tekst{P}left(\tekst{A}prawa)= \tekst{P}left(\tekst{A}prawa)+ \tekst{P}left(\tekst{B}prawa). Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie wystąpi jest równe 1 minus prawdopodobieństwo, że zdarzenie wystąpi. Jeśli jakieś zdarzenie wystąpi w 60% wszystkich prób, to nie wystąpi w pozostałych 40%, bo 100%-60%=40%. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia i prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie wystąpi zawsze sumują się do 100%, czyli 1. Takie zdarzenia nazywamy zdarzeniami komplementarnymi, a regułę tę nazywamy czasem regułą komplementarności. Można ją uprościć w ten sposób, że \tekst{P}left(\tekst{A}^tekst{c}}prawy)=1- \tekst{P}left(\tekst{A}prawy), gdzie \tekst{A}^tekst{c} jest dopełnieniem \tekst{A}.
Dwa zdarzenia \tekst{A} i \tekst{B} są niezależne, jeśli wiedza o wystąpieniu jednego z nich nie zmienia prawdopodobieństwa wystąpienia drugiego. Jest to często nazywane regułą mnożenia. Jeśli zdarzenia \tekst{A} i \tekst{B} są niezależne, wtedy \tekst{P}jest niezależny(\tekst{A} i} \tekst{B}}prawy)= \tekst{P}jest niezależny(\tekst{A}prawy)\tekst{P}prawy)\tekst{B}. Słowo „i” w matematyce oznacza to samo, co przecięcie, w którym używa się następującego symbolu: ∗cap. Dlatego, gdy tekst{A} i tekst{B} są niezależne, mamy tekst{P}left(\text{A}cap{prawy)= tekst{P}left(\Tekst{A}prawy)\Tekst{P}left(\Tekst{B}prawy).
Rozszerzenie przykładu
Pracując nad naszym przykładem rzucania dwoma monetami, przypisz prawdopodobieństwo 1/4 do każdego z 4 wyników. Rozważymy każdą z pięciu powyższych reguł w kontekście tego przykładu.
1. Zauważmy, że każde prawdopodobieństwo wynosi 1/4, czyli mieści się w przedziale od 0 do 1.
2. Zauważmy, że suma wszystkich prawdopodobieństw wynosi 1, ponieważ \frac{1}{4}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{4}=1.
3. Załóżmy, że \tekst{A} jest zdarzeniem, w którym występuje dokładnie jeden orzeł, a B jest zdarzeniem, w którym występują dokładnie dwa reszki. Wtedy tekst{A} = tekst{HT},™TH} oraz tekst{B} = tekst{TT} są rozłączne. Ponadto, \tekst{P}left(\tekst{A}}prawa)= \frac{3}{4}= \frac{2}{4}+ \tekst{P}1}{4}= \tekst{P}left(\tekst{A}prawa)+ \tekst{P}left(\tekst{B}prawa).
4. Prawdopodobieństwo, że nie wystąpi głowa jest 1/4, co jest równe 1-3/4. Jeśli więc \tekst{A}= \tekst{HT},\tekst{TH},\tekst{HH} jest zdarzeniem, w którym występuje głowa, to mamy \tekst{P}left(\tekst{A}^tekst{c}prawy)= \frac{1}{4}=1- \tekst{3}{4}=1- \tekst{P}left(\tekst{A}prawy).
5. Jeśli tekst{A} jest zdarzeniem, że pierwszy rzut jest główką, a tekst{B} jest zdarzeniem, że drugi rzut jest główką, to tekst{A} i tekst{B} są niezależne. Mamy więc \tekst{A}={tekst{HT},\tekst{HH}} i \tekst{B}={tekst{TH},\tekst{HH}} oraz \tekst{A}={tekst{B}={tekst{HH}}. Note that \text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)=\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot{\frac{1}{2}}=\text{P}\left(\text{A}\right)\text{P}\left(\text{B}\right).
Prawdopodobieństwo warunkowe
Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia to prawdopodobieństwo, że zdarzenie wystąpi, jeśli wystąpiło inne zdarzenie.
Cele nauczania
Wyjaśnić znaczenie twierdzenia Bayesa w manipulowaniu prawdopodobieństwami warunkowymi
Key Takeaways
KEY POINTS
- Prawdopodobieństwo warunkowe \tekst{P} \prawda \tekst{B} zdarzenia \tekst{B}, biorąc pod uwagę zdarzenie \text{A}, jest zdefiniowane przez: \text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)=\frac{\text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)}{\text{P}\left(\text{A}\right)}, when \text{P}\left(\text{A}\right)>0.
- Jeśli wiedza, że zachodzi zdarzenie \tekst{A} nie zmienia prawdopodobieństwa, że zachodzi zdarzenie \tekst{B}, to \tekst{A} i \tekst{B} są zdarzeniami niezależnymi, a zatem \tekst{P}left(\tekst{B}}prawy)= \tekst{P}left(\tekst{B}prawy).
- Matematycznie, twierdzenie Bayesa podaje związek między prawdopodobieństwami tekstu {A} i tekstu {B}, \tekst{P}left(\tekst{A}}prawy) i \tekst{P}left(\tekst{B}}prawy), oraz warunkowe prawdopodobieństwa tekstu{A} danego przez tekst{B} i tekstu{B} danego przez tekst{A}, \tekst{P}left(\tekst{A}prawostronny) i \tekst{P}left(\tekst{B}prawostronny). W najczęstszej postaci jest to: \text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)=\frac{\text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)\text{P}\left(\text{A}\right)}{\text{P}\left(\text{B}\right)}.
KEY TERMS
- prawdopodobieństwo warunkowe: Prawdopodobieństwo, że zdarzenie będzie miało miejsce przy restrykcyjnym założeniu, że inne zdarzenie miało miejsce, lub że kombinacja innych zdarzeń miała miejsce
- niezależne: Nie zależny; nie uwarunkowany lub zależny od czegoś innego; wolny.
Probability of B Given That A Has Occurred
Nasze oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia może się zmienić, jeśli wiemy, że jakieś inne zdarzenie miało miejsce. Na przykład, prawdopodobieństwo, że rzucona kość pokaże 2 wynosi 1/6 bez żadnych innych informacji, ale jeśli ktoś spojrzy na kość i powie, że jest to liczba parzysta, prawdopodobieństwo wynosi teraz 1/3, że jest to 2. Zapis \text{P}left(\text{B}mid{ \text{A}}right) oznacza prawdopodobieństwo warunkowe, co oznacza, że wskazuje prawdopodobieństwo jednego zdarzenia pod warunkiem, że wiemy, że inne zdarzenie miało miejsce. Słupek „™mid” można odczytać jako „dany”, więc ™text{P} lewa(™text{B} ™mid{text{A}} prawa) jest odczytywane jako „prawdopodobieństwo ™text{B} biorąc pod uwagę, że ™text{A} się wydarzyło”.
Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia \tekst{B}, biorąc pod uwagę zdarzenie \tekst{A}, jest zdefiniowane przez:
\text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)=\frac{\text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)}{\text{P}\left(\text{A}\right)}
Gdy \tekst{P}left(\tekst{A}prawica)>0. Należy pamiętać o odrębnych rolach tekst{B} i tekst{A} w tym wzorze. Zestaw po słupku jest tym, o którym zakładamy, że wystąpił, a jego prawdopodobieństwo występuje w mianowniku wzoru.
Przykład
Załóżmy, że rzucono monetą 3 razy dając przestrzeń próby:
Tekst{S}=},
Tekst{HHH},
Tekst{HTH},
Tekst{THT},
Tekst{HTT},
Każdy indywidualny wynik ma prawdopodobieństwo 1/8. Załóżmy, że \tekst{B} jest zdarzeniem, w którym wypadnie co najmniej jeden orzeł, a \tekst{A} jest zdarzeniem, w którym wszystkie 3 monety są takie same. Wtedy prawdopodobieństwo \tekst{B} danego \tekst{A} wynosi 1/2, ponieważ \tekst{A}= \tekst{HHH}}, który ma prawdopodobieństwo 1/8 i \tekst{A}= \tekst{HHH},\tekst{TT}}, który ma prawdopodobieństwo 2/8, i \frac{1/8}{2/8}= \frac{1}{2}.
Niezależność
Prawdopodobieństwo warunkowe \tekst{P}left(\tekst{B}mid{A}}right) nie zawsze jest równe prawdopodobieństwu bezwarunkowemu \tekst{P}left(\tekst{B}right). Powodem tego jest to, że wystąpienie zdarzenia \tekst{A} może dostarczyć dodatkowych informacji, które mogą zmienić prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia \tekst{B}. Jeśli wiedza, że zdarzenie \tekst{A} występuje nie zmienia prawdopodobieństwa, że zdarzenie \tekst{B} występuje, wtedy \tekst{A} i \tekst{B} są niezależnymi zdarzeniami, a zatem \tekst{P}lewa(\tekst{B}}prawa)= \tekst{P}lewa(\tekst{B}}prawa).
Twierdzenie Bayesa
W teorii prawdopodobieństwa i statystyce, twierdzenie Bayesa (alternatywnie prawo Bayesa lub reguła Bayesa) jest wynikiem, który ma znaczenie w matematycznej manipulacji prawdopodobieństwami warunkowymi. Można je wyprowadzić z podstawowych aksjomatów prawdopodobieństwa.
Matematycznie, twierdzenie Bayesa podaje związek pomiędzy prawdopodobieństwami \tekst{A} i \tekst{B}, \tekst{P}lewa(\tekst{A}prawo) i \tekst{P}lewa(\tekst{B}prawo), a prawdopodobieństwami warunkowymi \tekst{A} danego \tekst{B} i \tekst{B} danego \tekst{A}. W najczęstszej postaci jest to:
\text{P}\left(\text{A}\mid{\text{B}}\right)=\frac{\text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)\text{P}\left(\text{A}\right)}{\text{P}\left(\text{B}\right)}
To może być łatwiejsze do zapamiętania w tej alternatywnej symetrycznej formie:
\frac{\text{P}\left(\text{A}\mid{\text{B}}\right)}{\text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)}=\frac{\text{P}\left(\text{A}\right)}{\text{P}\left(\text{B}\right)}
Przykład
Załóżmy, że ktoś powiedział ci, że miał miłą rozmowę z kimś w pociągu. Nie wiedząc nic więcej o tej rozmowie, prawdopodobieństwo, że rozmawiał z kobietą wynosi 50%. Teraz załóżmy, że ktoś powiedział Ci również, że ta osoba miała długie włosy. Jest teraz bardziej prawdopodobne, że rozmawiali z kobietą, ponieważ kobiety w tym mieście częściej mają długie włosy niż mężczyźni. Twierdzenie Bayesa może być użyte do obliczenia prawdopodobieństwa, że ta osoba jest kobietą.
Aby zobaczyć jak to się robi, niech \tekst{W} reprezentuje zdarzenie, że rozmowa była prowadzona z kobietą, a \tekst{L} oznacza zdarzenie, że rozmowa była prowadzona z długowłosą osobą. Można założyć, że kobiety stanowią połowę populacji w tym przykładzie. Zatem, nie wiedząc nic więcej, prawdopodobieństwo wystąpienia tego zdarzenia jest równe \text{P}left(\text{W}}right)=0.5.
Załóżmy, że wiadomo również, że 75% kobiet w tym mieście ma długie włosy, co oznaczamy jako \text{P}left(\Tekst{L}mid{W}}}right)=0.75. Podobnie, załóżmy, że wiadomo, że 25% mężczyzn w tym mieście ma długie włosy, czyli \text{P}left(\text{L}mid{text{M}}}right)=0.25, gdzie \tekst{M} jest zdarzeniem uzupełniającym \tekst{W}, tzn, Zdarzenie, że rozmowa była prowadzona z mężczyzną (zakładając, że każdy człowiek jest albo mężczyzną, albo kobietą).
Naszym celem jest obliczenie prawdopodobieństwa, że rozmowa była prowadzona z kobietą, biorąc pod uwagę fakt, że osoba ta miała długie włosy, lub, w naszej notacji, \text{P}(\text{W} \mid{text{L}}). Korzystając ze wzoru na twierdzenie Bayesa, mamy:
\text{P}\left(\text{W}\mid{\text{L}}\right)=\frac{\text{P}\left(\text{L}\mid{\text{W}}\right)\text{P}\left(\text{W}\right)}{\text{P}\left(\text{L}\right)}=\frac{\text{P}\left(\text{L}\mid{\text{W}}\right)\text{P}\left(\text{W}\right)}{\text{P}\left(\text{L}\mid{\text{W}}\right)\text{P}\left(\text{W}\right)+\text{P}\left(\text{L}\mid{\text{M}}\right)\text{P}\left(\text{M}\right)}=\frac{0.75}{0,75}{0,75+0,25=0,75
Unie i przecięcia
Unia i przecięcie to dwa kluczowe pojęcia w teorii zbiorów i prawdopodobieństwa.
Cele kształcenia
Podaj przykłady przecięcia i unii dwóch lub więcej zbiorów
Kluczowe wnioski
KEY POINTS
- Unia dwóch lub więcej zbiorów jest zbiorem, który zawiera wszystkie elementy dwóch lub więcej zbiorów. Unia jest oznaczana symbolem .
- Ogólna reguła dodawania prawdopodobieństwa dla unii dwóch zdarzeń mówi, że \tekst{P}lewa(\tekst{A}prawa)= \tekst{P}lewa(\tekst{A}prawa)+ \tekst{P}lewa(\tekst{B}prawa)- \tekst{P}lewa(\tekst{A}prawa), gdzie \tekst{A}jest przecięciem tych dwóch zbiorów.
- Reguła dodawania może być skrócona, jeśli zbiory są rozłączne: \text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right). Można to nawet rozszerzyć na więcej zbiorów, jeśli wszystkie są rozłączne:
- Przecięcie dwóch lub więcej zbiorów to zbiór elementów, które są wspólne dla każdego zbioru. Do oznaczenia przecięcia używa się symbolu ∑cap.
- Gdy zdarzenia są niezależne, możemy skorzystać z reguły mnożenia dla zdarzeń niezależnych, która mówi, że ∑P}left(∑A}cap(∑B}}right)= ∑P}left(∑A}right)∑P}left(∑B}right).
KEY TERMS
- independent: Nie zależny ani nie uwarunkowany od czegoś innego.
- rozłączny: Nie mający wspólnych elementów; mający przecięcie równe pustemu zbiorowi.
Prawdopodobieństwo wykorzystuje matematyczne idee zbiorów, jak widzieliśmy w definicji zarówno przestrzeni prób eksperymentu, jak i w definicji zdarzenia. Aby wykonać podstawowe obliczenia prawdopodobieństwa, musimy zapoznać się z pojęciami z teorii zbiorów związanymi z operacjami na zbiorach: unii, przecięcia i dopełnienia.
Unia
Związek dwóch lub więcej zbiorów jest zbiorem, który zawiera wszystkie elementy każdego ze zbiorów; element jest w unii, jeśli należy do co najmniej jednego ze zbiorów. Symbolem unii jest \cup, i jest związany ze słowem „lub”, ponieważ \text{A} \cup{B}} jest zbiorem wszystkich elementów, które są w \text{A} lub \text{B} (lub obu.) Aby znaleźć unię dwóch zbiorów, wymień elementy, które są w obu (lub obu) zbiorach. W kategoriach Diagramu Venna, unia zbiorów \tekst{A} i \tekst{B} może być przedstawiona jako dwa całkowicie zacienione, zazębiające się okręgi.
Unia dwóch zbiorów: Zacieniowany Diagram Venna przedstawia unię zbioru \tekst{A} (koło po lewej) ze zbiorem \tekst{B} (koło po prawej). Można go zapisać skrótowo jako \tekst{A}
W symbolach, ponieważ unia \tekst{A} i \tekst{B} zawiera wszystkie punkty, które są w \tekst{A} lub \tekst{B} lub w obu, definicja unii to:
\text{A}\cup{\text{B}}=\{\text{x}:\text{x}\in{\text{A}} \tekst{ lub }
Na przykład, jeśli tekst{A}={1,3,5,7} i tekst{B}={1,2,4,6} , to tekst{A}}=1,2,3,4,5,6,7}. Zauważmy, że element 1 nie jest wymieniony dwukrotnie w unii, mimo że pojawia się w obu zbiorach \tekst{A} i \tekst{B}. To prowadzi nas do ogólnej reguły dodawania dla unii dwóch zdarzeń:
\text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right)−\text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)
Gdzie \tekst{P}left(\tekst{A}cap{tekst{B}}prawo) jest przecięciem tych dwóch zbiorów. Musimy to odjąć, aby uniknąć podwójnego liczenia inkluzji elementu.
Jeśli zbiory \tekst{A} i \tekst{B} są rozłączne, to zdarzenie \tekst{A} nie ma w nim żadnych wyników i jest pustym zbiorem oznaczanym jako ∅, którego prawdopodobieństwo wynosi zero. Tak więc, powyższa reguła może być skrócona tylko dla zbiorów rozłącznych:
Tekstekst(\text{A}cap{text{B}}prawo)=tekst(\tekst{A}prawo)+tekst{P}prawo(\tekst{B}prawo)
To może być nawet rozszerzone na więcej zbiorów, jeśli wszystkie są rozłączne:
\text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}}\cup{\text{C}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right)+\text{P}\left(\text{C}\right)
Przecięcie
Przecięcie dwóch lub więcej zbiorów to zbiór elementów, które są wspólne dla każdego z tych zbiorów. Element jest w przecięciu, jeśli należy do wszystkich zbiorów. Symbolem przecięcia jest „i”, i jest związane ze słowem „i”, ponieważ „tekst{A}}” jest zbiorem elementów, które są w „tekst{A}” i „tekst{B}}” jednocześnie. Aby znaleźć przecięcie dwóch (lub więcej) zestawów, uwzględnij tylko te elementy, które są wymienione w obu (lub wszystkich) zestawach. W kategoriach diagramu Venna, przecięcie dwóch zbiorów \tekst{A} i \tekst{B} może być pokazane w zacienionym regionie w środku dwóch zazębiających się okręgów .
Przecięcie dwóch zbiorów: Zbiór A to okrąg po lewej stronie, zbiór B to okrąg po prawej stronie, a przecięcie zbiorów A i B, czyli \tekst{A}, to zacieniona część w środku.
W notacji matematycznej, przecięcie \tekst{A} i \tekst{B} jest zapisywane jako \tekst{A}= \tekst{x}:\tekst{x} i \tekst{x} \tekst{B}}. Na przykład, jeśli tekst{A}={1,3,5,7} i tekst{B}={1,2,4,6}, to tekst{A}=={1}, ponieważ 1 jest jedynym elementem, który występuje w obu zbiorach tekst{A} i tekst{B}.
Gdy zdarzenia są niezależne, co oznacza, że wynik jednego zdarzenia nie wpływa na wynik innego zdarzenia, możemy skorzystać z reguły mnożenia dla zdarzeń niezależnych, która mówi:
Lewa strona(\tekst{A}prawa)=Lewa strona(\tekst{A}prawa)\tekst{P}Lewa strona(\tekst{B}prawa)
Na przykład, powiedzmy, że rzucaliśmy monetą dwa razy i chcemy znać prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch główek. Ponieważ pierwszy rzut nie wpływa na drugi, zdarzenia te są niezależne. Powiedzmy, że pierwszy rzut to reszka, a drugi to reszka, wtedy ∗ lewa(∗ prawa)=frac{1}{2}=frac{1}{2}.
Zdarzenia dopełniające
Zupełność tekstu{A} to zdarzenie, w którym tekst{A} nie występuje.
Cele nauczania
Wyjaśnij przykład zdarzenia komplementarnego
Kluczowe wnioski
KEY POINTS
- Dopełnienie zdarzenia \tekst{A} jest zwykle oznaczane jako \tekst{A}′, \^text{A}^ ^text{c} lub ^bar{text{A}}.
- Zdarzenie i jego dopełnienie są wzajemnie wykluczające się, co oznacza, że jeśli jedno z tych dwóch zdarzeń wystąpi, to drugie nie może wystąpić.
- Zdarzenie i jego dopełnienie są wyczerpujące, co oznacza, że oba zdarzenia obejmują wszystkie możliwości.
KEY TERMS
- wyczerpujący: obejmujący każdy możliwy element
- wzajemnie wykluczający się: opisujący wiele zdarzeń lub stanów bytu w taki sposób, że wystąpienie któregokolwiek z nich implikuje niewystąpienie wszystkich pozostałych
Co to są zdarzenia komplementarne?
W teorii prawdopodobieństwa dopełnieniem dowolnego zdarzenia jest zdarzenie , tzn. zdarzenie, w którym zdarzenie nie zachodzi. Zdarzenie i jego dopełnienie są wzajemnie wykluczające się i wyczerpujące, co oznacza, że jeśli jedno z nich zachodzi, to drugie nie zachodzi i że obie grupy obejmują wszystkie możliwości. Ogólnie rzecz biorąc, istnieje tylko jedno zdarzenie \tekst{B} takie, że \tekst{A} i \tekst{B} wzajemnie się wykluczają i wyczerpują; to zdarzenie jest dopełnieniem \tekst{A}. Dopełnienie zdarzenia \tekst{A} jest zwykle oznaczane jako \tekst{A}′, \tekst{A}^c lub \bar{tekst{A}}.
Przykłady
Przykłady
Powszechnym przykładem używanym do demonstracji komplementarnych zdarzeń jest rzut monetą. Załóżmy, że rzucamy monetą i zakładamy, że nie może ona wylądować na swojej krawędzi. Może wylądować albo na reszce, albo na reszce. Nie ma innych możliwości (wyczerpuje się), a oba zdarzenia nie mogą wystąpić w tym samym czasie (wzajemnie się wykluczają). Ponieważ te dwa zdarzenia są komplementarne, wiemy, że \tekst{P}left(\theads}\right)+ \tekst{P}left(\tails}\right)=1.
Przewrót monet: Często w grach sportowych, takich jak tenis, rzut monetą jest używany do określenia, kto będzie służył jako pierwszy, ponieważ głowy i ogony są komplementarnymi wydarzeniami.
Innym prostym przykładem komplementarnych wydarzeń jest wybieranie piłki z torby. Powiedzmy, że w torbie znajdują się trzy plastikowe kulki. Jedna jest niebieska, a dwie są czerwone. Zakładając, że każda z kulek ma równe szanse na wyciągnięcie z worka, wiemy, że \tekst{P}lewa(\tekst{błękitna}prawa)= \frac{1}{3} i \tekst{P}lewa(\tekst{czerwona}prawa)= \frac{2}{3}. Ponieważ możemy wybrać tylko kolor niebieski lub czerwony (wyczerpująco) i nie możemy wybrać obu jednocześnie (wzajemnie się wykluczają), wybór koloru niebieskiego i wybór koloru czerwonego są zdarzeniami komplementarnymi i \tekst{P}left(\tekst{błękitny}prawo)+ \tekst{P}left(\tekst{czerwony}prawo)=1.
Na koniec przeanalizujmy nie-przykład zdarzeń komplementarnych. Gdybyś został poproszony o wybranie dowolnej liczby, mógłbyś pomyśleć, że ta liczba może być albo pierwsza, albo złożona. Oczywiście, liczba nie może być zarówno pierwsza, jak i złożona, więc to załatwia sprawę wzajemnie wykluczającej się własności. Jednak bycie pierwszym lub złożonym nie jest wyczerpujące, ponieważ liczba 1 w matematyce jest określana jako „unikalna”. „