Tłumiony ruch harmoniczny
Z czasem ruch tłumionego oscylatora harmonicznego zostanie zredukowany do zatrzymania.
Cele nauczania
Opisać ewolucję w czasie ruchu tłumionego oscylatora harmonicznego
Kluczowe wnioski
Kluczowe punkty
- Aby opisać tłumiony oscylator harmoniczny, dodać człon zależny od prędkości, bx, gdzie b jest błędnym współczynnikiem tłumienia.
- Rozwiąż równanie różniczkowe dla równania ruchu, x(t).
- Zależnie od wartości współczynnika tłumienia i nietłumionej częstotliwości kątowej, wyniki będą jednym z trzech przypadków: układ niedotłumiony, układ nadmiernie wytłumiony lub układ krytycznie wytłumiony.
Kluczowe pojęcia
- Niedotłumiony: „Stan, w którym tłumienie oscylatora powoduje, że wraca on do równowagi z amplitudą stopniowo malejącą do zera; system wraca do równowagi szybciej, ale przekracza położenie równowagi jeden lub więcej razy. „
- Krytycznie stłumiony: „Stan, w którym tłumienie oscylatora powoduje, że powraca on tak szybko, jak to możliwe, do położenia równowagi bez oscylowania tam i z powrotem wokół tego położenia. „
- Over Damped: „Stan, w którym tłumienie oscylatora powoduje jego powrót do stanu równowagi bez oscylacji; oscylator porusza się wolniej w kierunku stanu równowagi niż w układzie krytycznie wytłumionym. „
Sytuacja fizyczna
Prosty oscylator harmoniczny opisuje wiele systemów fizycznych na całym świecie, ale wczesne badania fizyki zazwyczaj rozważają tylko idealne sytuacje, które nie obejmują tarcia. W prawdziwym świecie jednak siły tarcia – takie jak opór powietrza – spowalniają lub tłumią ruch obiektu. Czasami te siły tłumiące są wystarczająco silne, aby przywrócić obiekt do równowagi w czasie.
Tłumiony ruch harmoniczny: Ilustracja położenia względem czasu naszego obiektu poruszającego się w prostym ruchu harmonicznym. Widzimy, że dla małego tłumienia, amplituda naszego ruchu powoli maleje w czasie.
Najprostszy i najczęściej spotykany przypadek występuje, gdy siła tarcia jest proporcjonalna do prędkości obiektu. Należy pamiętać, że istnieją inne przypadki, które mogą prowadzić do równań nieliniowych, co wykracza poza zakres tego przykładu.
Rozważmy obiekt o masie m przymocowany do sprężyny o stałej k. Niech siła tłumiąca będzie proporcjonalna do prędkości masy przez stałą proporcjonalności, b, zwaną błędnym współczynnikiem tłumienia. Sytuację tę możemy opisać za pomocą drugiego prawa Newtona, co prowadzi do równania różniczkowego zwyczajnego drugiego rzędu, liniowego, jednorodnego. Po prostu dodajemy człon opisujący siłę tłumienia do naszego już znanego równania opisującego prosty oscylator harmoniczny, aby opisać ogólny przypadek tłumionego ruchu harmonicznego.
Begin{array}{\text{lcl}} \text{F}_{\text{net}}&&\text{m} \frac{\text{d}^{2}\tekst{x}}{\text{dt}^2} + \text{b}\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + \text{kx} = 0 && \frac{tekst{d}^2}}{\tekst{dt}^2} + \frac{\text{b}}{\text{m}}\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + \frac{text{k}}{\text{m}}^2}{\text{dt}^2} = 0 && \frac{text{d}^2}{\text{dt}^2} + gramma \frac{text{dx}}{text{dt}} + \omega_0^2 \text{x} = 0 \ end{array} \omega_0^2 = \frac{text{k}}{\text{m}}, \gamma = \frac{text{b}}{\text{m}}
W tej notacji używamy \frac{text{d}^2 \text{x}}{\text{dt}^2}, czyli przyspieszenia naszego obiektu, \frac{text{dx}}{text{dt}}, prędkości naszego obiektu, \omega_0, nietłumionej częstotliwości kątowej oscylacji, oraz ɣ, którą możemy nazwać współczynnikiem tłumienia.
Rozwiązanie równania różniczkowego; Interpretacja wyników
Rozwiązujemy to równanie różniczkowe dla naszego równania ruchu układu, x(t). Zakładamy rozwiązanie w postaci wykładniczej, gdzie a jest wartością stałą, dla której będziemy rozwiązywać.
Tekstekst{x}(\t}) = \tekst{e}^{tekst{at}}
Podłączając to do równania różniczkowego stwierdzamy, że istnieją trzy wyniki dla a, które będą dyktować ruch naszego układu. Możemy rozwiązać a za pomocą równania kwadratowego.
Begin{array}{{lcl}} \text{F}_{\text{net}}&&\text{a}^{2} \text{x} + \gamma \text{a} \text{x} + ˆomega_0^2 ˆtext{x} = 0 && ˆtext{a}^{2} + ˆgamma ˆa} + ˆomega_0^2 = 0 ˆend{array}
Tekst{a} = ˆfrac{gamma ˆpm ˆsqrt{gamma^2 – 4 ˆomega_0^2}}{2}
Sytuacja fizyczna ma trzy możliwe wyniki w zależności od wartości a, która zależy od wartości tego, co jest pod naszym rodnikiem. Wyrażenie to może być dodatnie, ujemne lub równe zeru, co spowoduje odpowiednio: nadmierne tłumienie, niedotłumienie i tłumienie krytyczne.
> 4 a jest przypadkiem nadmiernie tłumionym. W tym przypadku układ powraca do równowagi poprzez wykładniczy zanik w kierunku zera. Układ nie będzie przechodził przez położenie równowagi więcej niż jeden raz.
Gamma^2 < 4\omega_0^2 to przypadek Under Damped. W tym przypadku układ oscyluje, ponieważ powoli wraca do stanu równowagi, a amplituda maleje w czasie. Rysunek 1 przedstawia przypadek niedotłumiony.
Gamma^2 = 4omega_0^2 to przypadek krytycznie wytłumiony. W tym przypadku układ bardzo szybko powraca do równowagi, nie oscylując i w ogóle nie przechodząc przez położenie równowagi.