Euklides, ilustrujący geometrię w „Szkole Ateńskiej”, autorstwa Raffaello Sanzio (Public Domain)

Z pewnością, do mierzenia granic i wznoszenia budynków, ludzie muszą mieć jakiś wbudowany mechanizm i instynkt do oceny odległości, kątów i wysokości. W miarę rozwoju cywilizacji instynkty te były wzbogacane o obserwacje i procedury zdobywane dzięki doświadczeniu, eksperymentom i intuicji. Babilończycy z pewnością byli wytrawnymi geometrami, a Egipcjanie rozwinęli bogatą i złożoną matematykę opartą na geodezji. Obie te kultury przekazały swoje informacje Grekom.

Początek greckiej geometrii

Egipcjanie i Babilończycy nie byli tak naprawdę zainteresowani odkryciem aksjomatów i podstawowych zasad rządzących geometrią. Ich podejście było bardzo pragmatyczne i ukierunkowane na praktyczne zastosowania. Babilończycy, na przykład, założyli, że Pi wynosi dokładnie 3 i nie widzieli powodu, aby to zmienić. Matematycy egipscy nie mieli żadnej struktury geometrii, a jedynie zbiór reguł i rozwiązań ukierunkowanych na konkretne okoliczności, takie jak obliczanie objętości ściętej piramidy. Używali również trygonometrii w tym momencie, w rozwoju podzbioru geometrii, do pomiarów geodezyjnych i do mierzenia wymiarów piramid.

Kultury te nie wydawały się używać rozumowania dedukcyjnego do odkrywania technik geometrycznych z pierwszych zasad. Zamiast tego stosowały metodę prób i błędów, a jeśli rozwiązanie nie było łatwo dostępne, stosowały metodę prób i błędów, by dojść do przybliżenia. Jednak te kultury położyły podwaliny greckiej geometrii i wpłynęły na Greków, którzy wprowadzili dedukcyjną metodologię do geometrii, próbując znaleźć eleganckie zasady leżące u podstaw tej dziedziny.

Wczesna grecka Geometria

Thales z Miletu (Domena publiczna)

Wczesna historia greckiej geometrii jest niejasna, ponieważ nie zachowały się żadne oryginalne źródła informacji, a cała nasza wiedza pochodzi ze źródeł wtórnych napisanych wiele lat po wczesnym okresie. Jednak wciąż możemy zobaczyć przyzwoity przegląd, a także zacząć patrzeć na niektóre z wielkich nazwisk, greckich matematyków, którzy ukształtowaliby kurs greckiej geometrii.

Pierwszym, i jednym z największych nazwisk, jest Thales z Miletu, matematyk żyjący w 6 wieku p.n.e. Jest on uważany za ojca geometrii i rozpoczął proces stosowania dedukcji z pierwszych zasad. Uważa się, że podróżował do Egiptu i Babilonu, przyswajając sobie techniki geometryczne z tych kultur, i z pewnością miał dostęp do ich prac.

Thales mocno wierzył, że rozumowanie powinno być ważniejsze niż eksperymenty i intuicja, i zaczął szukać solidnych zasad, na których mógłby budować twierdzenia. To wprowadziło ideę dowodu do geometrii i zaproponował kilka aksjomatów, które uważał za prawdy matematyczne.

• Krąg jest podzielny na połowy przez dowolną ze swoich średnic
• Kąty podstawy trójkąta równoramiennego są równe
• Gdy dwie proste przecinają się, kąty przeciwległe są równe
• Kąt zakreślony w półokręgu jest kątem prostym
• Kąt zakreślony w półokręgu jest kątem prostym

iv id=”4caad44ff4jest kątem prostym

• Dwa trójkąty o jednym równym boku i dwóch równych kątach są przystające

Thalesowi przypisuje się opracowanie metody określania wysokości statku na morzu, Technika, którą wykorzystał do zmierzenia wysokości piramidy, ku uciesze Egipcjan. W tym celu musiał zrozumieć proporcje i być może zasady rządzące trójkątami podobnymi, jedną z podstaw trygonometrii i geometrii.

Nie jest jasne, w jaki sposób Thales zdecydował, że powyższe aksjomaty są niepodważalnymi dowodami, ale zostały one włączone do greckiej matematyki, a wpływ Thalesa wpłynął na niezliczone pokolenia matematyków.

Pythagoras

Pythagoras (Public Domain)

Prawdopodobnie najbardziej znanym nazwiskiem podczas rozwoju greckiej geometrii jest Pythagoras, nawet jeśli tylko z powodu słynnego prawa dotyczącego trójkątów prostokątnych. Ten matematyk żył w tajnym stowarzyszeniu, które przyjęło na wpół religijną misję. Na tej podstawie pitagorejczycy rozwinęli szereg idei i zaczęli rozwijać trygonometrię. Pitagorejczycy dodali kilka nowych aksjomatów do zbioru wiedzy geometrycznej.

• Suma kątów wewnętrznych trójkąta równa się dwa kąty proste *(180o).
• Suma kątów zewnętrznych trójkąta równa się cztery kąty proste (360o).
• Suma kątów wewnętrznych dowolnego wielokąta równa się 2n-4 kątom prostym, gdzie n to liczba boków.
• Suma kątów zewnętrznych wielokąta równa się czterem kątom prostym, niezależnie od liczby boków.
• Trzy wielokąty, trójkąt, sześciokąt i kwadrat całkowicie wypełniają przestrzeń wokół punktu na płaszczyźnie – sześć trójkątów, cztery kwadraty i trzy sześciokąty. Innymi słowy, można pokryć obszar tymi trzema kształtami, nie pozostawiając luk ani nie zachodząc na siebie.
• Dla trójkąta prostokątnego, kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków.

Większość z tych reguł jest natychmiast znana większości studentów, jako podstawowe zasady geometrii i trygonometrii. Jeden z jego uczniów, Hipokrates, poszedł dalej w rozwoju geometrii. Był pierwszym, który zaczął stosować techniki geometryczne w innych dziedzinach matematyki, takich jak rozwiązywanie równań kwadratowych, a nawet zaczął badać proces całkowania. Badał problem kwadratury koła (o którym dziś wiemy, że jest niemożliwy, po prostu dlatego, że Pi jest liczbą irracjonalną). Rozwiązał problem kwadratury łuku i pokazał, że stosunek pól dwóch okręgów jest równy stosunkowi kwadratów promieni tych okręgów.

Euklides

Euklides uważał, że wszystkie twierdzenia matematyczne powinny być udowodnione (Elementy Euklidesa)

Obok Pitagorasa, Euklides jest bardzo znanym nazwiskiem w historii geometrii greckiej. Zebrał on prace wszystkich wcześniejszych matematyków i stworzył swoje przełomowe dzieło, 'Elementy', z pewnością jedną z najczęściej publikowanych książek wszech czasów. W dziele tym Euklides określił podejście do geometrii i ogólnie do czystej matematyki, proponując, by wszystkie twierdzenia matematyczne były udowadniane za pomocą rozumowania i by nie były potrzebne żadne pomiary empiryczne. Ta idea dowodu nadal dominuje w czystej matematyce we współczesnym świecie.

Archimedes

Archimedes był wielkim matematykiem i był mistrzem w wizualizacji i manipulacji przestrzenią. Doskonalił metody całkowania i opracował wzory do obliczania pól powierzchni wielu kształtów i objętości wielu brył. Często stosował metodę wyczerpania, aby odkryć wzory. Na przykład znalazł sposób na matematyczne obliczenie pola powierzchni pod krzywą paraboliczną; obliczył wartość liczby Pi dokładniej niż jakikolwiek inny matematyk; udowodnił, że pole koła jest równe liczbie Pi pomnożonej przez kwadrat jego promienia. Wykazał również, że objętość kuli jest równa dwóm trzecim objętości walca o tej samej wysokości i promieniu. To ostatnie odkrycie zostało wyryte na jego nagrobku.

Apolloniusz z Pergi (262 – 190 p.n.e.)

Appoloniusz z Pergii (Domena publiczna)

Apoloniusz był matematykiem i astronomem, i napisał traktat o nazwie 'Przekroje stożkowe'.' Apolloniusowi przypisuje się wynalezienie słów elipsa, parabola i hiperbola, i jest często określany jako Wielki Geometr. Pisał również obszernie o ideach stycznych do krzywych, a jego praca nad stożkami i parabolami miała wpływ na późniejszych uczonych islamskich i ich prace nad optyką.

Grecka geometria i jej wpływ

Grecka geometria ostatecznie przeszła w ręce wielkich islamskich uczonych, którzy ją przetłumaczyli i dodali do niej nowe elementy. W tym badaniu greckiej geometrii, było wielu innych greckich matematyków i geometrów, którzy przyczynili się do historii geometrii, ale te nazwiska są prawdziwymi gigantami, tymi, którzy rozwinęli geometrię, jaką znamy dzisiaj.