„Hej – mam dziury w niektórych moich dżinsach. Możesz je dla mnie załatać?” Twój przyjaciel, który wie o twojej legendarnej umiejętności posługiwania się igłą i nitką, wysyła ci SMS-a z prośbą o pomoc.
„Jasne, to proste” – odpowiadasz. „Jak duże są te dziury?”
„Wszystkie mają dziwne kształty, ale nigdy nie są szersze niż cal. Będę później, więc przygotuj rzeczy!”
Podchodzisz do swojego zestawu do szycia i wyciągasz kilka okrągłych łatek, każda o średnicy 1 cala. „To powinno załatwić sprawę”, myślisz sobie. Ale czy tak będzie? Czy okrągła łata o średnicy 1 może naprawdę zakryć dziurę, która ma co najwyżej 1 cal szerokości w dowolnym kierunku?
W zestawie widzisz inną łatę, trójkąt równoboczny o boku 1 cala. Zauważasz, że żadne dwa punkty w trójkącie nie są oddalone od siebie o więcej niż 1 cal, więc dziura w dżinsach twojego przyjaciela może mieć taki kształt. Ale kiedy przyłożysz do niej okrągłą łatkę, zauważysz, że koło zakrywa dwa wierzchołki trójkąta, ale trzeci wystaje.
Kilka elementarnych wskazówek geometrii potwierdza, że wysokość trójkąta, $latex \frac{sqrt{3}}{2}$ cali, jest większa niż promień koła, $latex \frac{1}{2}$ cali. Koło nie może pokryć trójkąta, a trójkąt nie może pokryć koła. Ponieważ dziura może mieć dowolny kształt, oznacza to, że żadna z tych łat nie pokryje każdej możliwej dziury w dżinsach twojego przyjaciela.
Mógłbyś po prostu użyć naprawdę dużej łaty, aby być bezpiecznym, ale nie chcesz marnować cennego materiału. Więc pytanie brzmi: Jaka jest najmniejsza łatka potrzebna do zakrycia dziury o szerokości co najwyżej 1 cala? Poszukiwania w Internecie ujawniły, że matematycy również zastanawiali się nad tym pytaniem: Od ponad 100 lat szukają minimalnej uniwersalnej osłony. Jeszcze go nie znaleźli, ale ostatnie wyniki przybliżają nas do tego idealnego kształtu.
Problem „uniwersalnego pokrycia” został po raz pierwszy postawiony przez Henri Lebesgue’a w liście do jego kolegi matematyka Juliusa Pala w 1914 roku. Problem ten może być sformułowany na różne sposoby, ale jego sednem jest pojęcie regionu o średnicy 1: jest to zbiór punktów na płaszczyźnie, w którym żadne dwa punkty nie są oddalone od siebie o więcej niż 1 jednostkę, jak dziura o szerokości nie większej niż 1 cal w naszym problemie z łataniem spodni.
Jeśli jeden zbiór punktów może zmieścić się wewnątrz drugiego, mówimy, że drugi zbiór „pokrywa” pierwszy, jak łata, która zakrywa dziurę. Uniwersalne pokrycie” to obszar, który może pokryć cały zbiór kształtów, jak wszystkie kształty o średnicy 1, a problem uniwersalnego pokrycia Lebesgue’a wymaga znalezienia najmniejszego wypukłego obszaru, który zrobi tę sztuczkę. („Wypukły” z grubsza oznacza, że pokrycie nie ma wcięć, a „najmniejszy” oznacza, że ma minimalną powierzchnię.)
Może Cię zaskoczyć, że tak pozornie elementarny problem z geometrią nie został rozwiązany od 100 lat. Ale część tego, co sprawia, że problem jest tak trudny, to fakt, że trudno jest dokładnie określić, jak może wyglądać kształt o średnicy 1. Jak widzieliśmy wcześniej, trudno jest udowodnić twierdzenia o rzeczach, których nie można sobie do końca wyobrazić.
Jeśli chodzi o pokrycie zbiorów o średnicy 1, jest wiele kształtów, o których wiemy, że działają, ale nie wiemy, że są minimalne. Przyjrzyjmy się, dlaczego matematycy mają problem z uszyciem tego kształtu.
Zacznijmy od regionu R o średnicy 1. Naprawdę nie mamy pojęcia, jak R może wyglądać; wiemy tylko, że tak jak dziury, które próbujemy zakryć, nigdy nie ma więcej niż 1 jednostkę szerokości. Ale skoro ma średnicę 1, załóżmy, że ma dwa punkty A i B oddalone od siebie o 1 jednostkę.
Załóżmy teraz, że R zawiera trzeci punkt C. Gdzie może znajdować się C? Nie może być oddalony o więcej niż 1 jednostkę od punktu A, co oznacza, że musi znajdować się w dysku o promieniu 1 skupionym w punkcie A. Możesz skonstruować ten dysk używając kompasu geometrycznego skupionego w punkcie A i otwartego na punkt B.
Ale punkt C nie może być oddalony o więcej niż 1 jednostkę od punktu B, więc musi znajdować się w dysku o promieniu 1 skupionym w punkcie B, który możesz skonstruować używając kompasu.
To oznacza, że punkt C musi leżeć w przecięciu tych dwóch dysków.
Ten argument nie odnosi się tylko do punktu C; odnosi się do każdego możliwego punktu w R. Zatem każdy punkt w R musi leżeć w przecięciu tych dwóch okręgów. Innymi słowy, ten region może pokryć każdy możliwy zbiór R o średnicy 1 i jest pokryciem uniwersalnym.
Ale to uniwersalne pokrycie nie ma minimalnego obszaru.
Zauważmy, że punkty przecięcia okręgów tworzą dwa trójkąty równoboczne o wierzchołkach A i B, a odległość od wierzchołka (i od dołu) do środka odcinka AB wynosi $latex \frac{sqrt{3}}{2}$ jednostek.
Ponieważ $latex \frac{sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2}$ , możemy narysować równoległe linie $latex \frac{1}{2}$ oddalone o jednostki od $latex \overline{AB}$ po obu stronach w ten sposób.
Rozważmy teraz dwa regiony w kolorze czerwonym, jeden powyżej górnej linii równoległej, a drugi poniżej dolnej.
Ponieważ odległość między dwiema liniami równoległymi wynosi 1, zbiór o średnicy 1 nie może znajdować się w obu czerwonych regionach w tym samym czasie. Oznacza to, że nie potrzebujemy obu czerwonych części do uniwersalnej pokrywy. Możemy po prostu odciąć jedną z nich.
Nasza oryginalna pokrywa – przecięcie dwóch dysków – ma powierzchnię $latex \frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} \$approx$ 1.228, a nasza nowa pokrywa ma pole $latex \frac{pi}{2}-\frac{1}{2}}{2} \1,071. Zaczynając od elementarnego pokrycia uniwersalnego, byliśmy w stanie zmniejszyć je poprzez usunięcie zbędnego elementu.
To jest dokładnie sposób, w jaki matematycy doszli do najmniejszego obecnie pokrycia uniwersalnego. Używając bardziej zaawansowanych technik, możemy znaleźć inne proste kształty, od których można zacząć. Na przykład, można pokazać, że kwadrat 1 na 1 jest uniwersalnym pokryciem. W odpowiedzi na wyzwanie Lebesgue’a, Pál wykorzystał własności tak zwanych krzywych o stałej szerokości, by pokazać, że nawet jeśli zbiór o średnicy 1 może wychodzić poza okrąg o średnicy 1, to zawsze można go przesunąć lub obrócić tak, by zmieścił się wewnątrz sześciokąta, który okrąża ten okrąg:
Poniżej pokazujemy sześciokąt Pala pokrywający różne kształty o średnicy 1. Kształt w środku to trójkąt Reuleaux, krzywa o stałej szerokości blisko spokrewniona z przykładowymi pokryciami, które skonstruowaliśmy powyżej. (Możemy skonstruować trójkąt Reuleaux z naszych przykładowych pokryć przez wyśrodkowanie naszego kompasu na górnym przecięciu dwóch okręgów, otwarcie go na szerokość 1 i zrobienie łuku z A do B.)
Ten sześciokąt ma pole $latex \frac{sqrt{3}}{2} \0,866, czyli mniej niż pole naszych przykładowych okładek i kwadratu jednostkowego. Ale Pál pokazał też, że nie potrzebujemy całego sześciokąta. Używając następującego pomysłowego argumentu, znalazł kilka zbędnych części, które mógł odciąć.
Zacznij od dwóch kopii sześciokąta Pala ułożonych jedna na drugiej
i obróć jedną z nich o 30 stopni względem środka.
W ten sposób powstaje wiele fajnych rzeczy – na przykład dodekagon utworzony przez przecięcie dwóch sześciokątów – ale nas najbardziej interesuje sześć małych czerwonych trójkątów pokazanych poniżej.
Każdy czerwony trójkąt znajduje się zarówno wewnątrz oryginalnego sześciokąta, jak i na zewnątrz obróconego sześciokąta. Ponieważ każda para przeciwległych boków każdego sześciokąta jest oddalona od siebie o 1 jednostkę, punkty leżące w dwóch przeciwległych czerwonych trójkątach muszą być oddalone od siebie o więcej niż 1 jednostkę. Podobnie jak w naszym powyższym argumencie, uniwersalna pokrywa nie potrzebowałaby obu trójkątów w każdej przeciwległej parze, ponieważ zbiór o średnicy 1 nie mógłby być w obu jednocześnie. Oznacza to, że powinniśmy być w stanie usunąć niektóre z nich. Optymistycznie rzecz biorąc, możemy mieć nadzieję, że uda nam się usunąć trzy: po jednym z każdej pary. Ale niestety nie możemy usunąć trzech czerwonych trójkątów z naszej pokrywy i nadal obsługiwać wszystkich możliwych zestawów o średnicy 1. Zobaczmy dlaczego.
Sześciokąt można obrócić o 60 stopni lub przerzucić przez jedną z jego linii symetrii bez żadnych zmian, więc tak naprawdę istnieją tylko dwa różne sposoby na wybranie jednego czerwonego trójkąta z każdej pary: Te trzy trójkąty mogą być kolejne lub mogą być naprzemienne. Pokazane jest to poniżej, z kropkami wskazującymi, które trójkąty może zajmować zbiór o średnicy 1.
Jeśli zbiór, który musimy pokryć zajmuje trzy kolejne trójkąty, jak po lewej, nie może być pokryty kształtem, który otrzymalibyśmy przez usunięcie trzech naprzemiennych trójkątów, jak po prawej. A jeśli zestaw zajmuje trzy naprzemienne trójkąty, nie może być pokryty kształtem, który otrzymalibyśmy przez usunięcie trzech kolejnych trójkątów. Usunięcie dowolnego zestawu trzech trójkątów pozostawia potencjalny zestaw o średnicy 1 niepokryty. Nie możemy więc usunąć trzech czerwonych trójkątów.
Ale możemy usunąć dwa. Dwa problematyczne zbiory opisane powyżej nadal mogą być pokryte, jeśli usuniemy dwa czerwone trójkąty, które nie są ani sąsiadujące, ani przeciwległe. Tak właśnie zrobił Pál.
Wyciął dwa trójkąty ze swojego sześciokąta, aby uzyskać nowy kształt, który na pewno pokryje wszystkie obszary o średnicy 1. To nowe uniwersalne pokrycie ma powierzchnię 2 – $latex \frac{2}{\sqrt{3}} \$approx$ 0.8453 , nieco mniej niż sześciokąt.
I kontynuowano przycinanie. Mniejsze kawałki zostały z powodzeniem usunięte przez matematyków Rolanda Sprague’a w 1936 roku i H.C. Hansena w 1992 roku. A zaledwie kilka lat temu matematyk amator Philip Gibbs, zainspirowany wpisem na blogu matematyka Johna Baeza, zaproponował kilka nowych kawałków do odcięcia. Współpracując z Baezem i innym współpracownikiem, uogólnił on techniki Sprague’a i Hansena, aby odciąć jeszcze więcej z pokrycia, ustanawiając nowy rekord świata dla najmniejszego wypukłego pokrycia zbiorów o średnicy 1, który to rekord Gibbs sam szybko poprawił, usuwając jeszcze więcej niepotrzebnego obszaru.
Dobrą wiadomością jest to, że wciąż znajdujemy kawałki sześciokąta Pala do odcięcia. Zła wiadomość jest taka, że te kawałki są bardzo małe. Praca Sprague’a zmniejszyła powierzchnię pokrywy o około 0,001 jednostki kwadratowej, a Hansena tylko o 0,0000000000004 jednostki kwadratowej. Gibbs i jego współpracownicy zmniejszyli pokrywę Hansena o około 0,00002 jednostek kwadratowych, co wydaje się być ogromnym cięciem w porównaniu.
Jak nisko mogą zejść? W 2005 roku Peter Brass i Mehrbod Sharifi udowodnili, że żadna uniwersalna pokrywa nie może być mniejsza niż 0,832 jednostki kwadratowe, więc wiemy, że nie możemy wyciąć zbyt wiele więcej z obecnego rekordu. Ale jeśli możesz wymyślić nową technikę lub nowy punkt wyjścia, możesz przybliżyć nas do minimalnej uniwersalnej pokrywy i odciąć kawałek matematycznej historii dla siebie. Pamiętaj, że najtrudniejszą częścią jest wyobrażenie sobie nieskończenie wielu sposobów, na jakie zbiór o średnicy 1 może przybrać kształt. I upewnienie się, że wszystkie możliwości zostały uwzględnione.