Biografia
Pełne imię Omara Khayyama brzmiało Ghiyath al-Din Abu’l-Fath Umar ibn Ibrahim Al-Nisaburi al-Khayyami. Dosłowne tłumaczenie nazwiska al-Khayyami (lub al-Khayyam) oznacza „wytwórcę namiotów” i być może tym właśnie zawodem zajmował się Ibrahim, jego ojciec. Khayyam grał na znaczenie własnego imienia, kiedy napisał:-
Khayyam, który zszył namioty nauki,
Wpadł do pieca żalu i nagle spłonął,
Nożyce losu przecięły liny namiotu jego życia,
A pośrednik nadziei sprzedał go za bezcen!
Wydarzenia polityczne XI wieku odegrały istotną rolę w przebiegu życia Khayyama. Turcy Seldżucy byli plemionami, które najechały południowo-zachodnią Azję w XI wieku i ostatecznie założyły imperium, które obejmowało Mezopotamię, Syrię, Palestynę i większość Iranu. Seldżucy zajmowali pastwiska Khorasanu, a następnie, między 1038 a 1040 r., podbili cały północno-wschodni Iran. Seldżucki władca Toghrïl Beg ogłosił się sułtanem w Nishapur w 1038 r., a w 1055 r. wkroczył do Bagdadu. To było w tym trudnym niestabilnym imperium wojskowym, które miało również problemy religijne, ponieważ próbowało ustanowić ortodoksyjne państwo muzułmańskie, Khayyam dorastał.
Khayyam studiował filozofię w Naishapur i jeden z jego kolegów studentów napisał, że był on:-
…. obdarzony bystrością umysłu i najwyższymi naturalnymi zdolnościami…
Nie było to jednak imperium, w którym ludzie nauki, nawet tak uczeni jak Khayyam, mieli łatwe życie, jeśli nie mieli wsparcia władcy na jednym z wielu dworów. Nawet taki patronat nie zapewniał zbyt dużej stabilności, ponieważ lokalna polityka i losy lokalnego reżimu wojskowego decydowały o tym, kto w danym momencie sprawował władzę. Sam Khayyam opisał trudności, z jakimi borykali się ludzie nauki w tym okresie, we wstępie do swojego Traktatu o demonstracji problemów algebry (zob. np. ):-
Nie byłem w stanie poświęcić się nauce tej algebry i ciągłej koncentracji na niej, z powodu przeszkód w kaprysach czasu, które mi utrudniały; zostaliśmy bowiem pozbawieni wszystkich ludzi wiedzy z wyjątkiem grupy, niewielkiej liczebnie, z wieloma kłopotami, których troską życiową jest wyrwanie okazji, gdy czas śpi, aby w międzyczasie poświęcić się badaniu i doskonaleniu jakiejś nauki; Większość bowiem ludzi, którzy naśladują filozofów, myli prawdę z fałszem i nie robi nic innego, jak tylko oszukuje i udaje wiedzę, a tego, co wie o naukach, nie używa do celów innych niż podstawowe i materialne; a jeśli widzą, że ktoś szuka słuszności i woli prawdę, robi wszystko, co w jego mocy, by obalić to, co fałszywe i nieprawdziwe, i pomija obłudę i oszustwo, robią z niego głupca i wyśmiewają go.
Jednakże Khayyam był wybitnym matematykiem i astronomem i pomimo trudności, które opisał w tym cytacie, napisał kilka prac, w tym Problemy arytmetyki, książkę o muzyce i jedną o algebrze, zanim skończył 25 lat. W 1070 roku przeniósł się do Samarkandy w Uzbekistanie, która jest jednym z najstarszych miast Azji Środkowej. Tam Khayyam był wspierany przez Abu Tahira, wybitnego prawnika z Samarkandy, co pozwoliło mu na napisanie jego najsłynniejszego dzieła z algebry, Treatise on Demonstration of Problems of Algebra, z którego cytat przytoczyliśmy powyżej. Opiszemy matematyczną zawartość tego dzieła w dalszej części biografii.
Toghril Beg, założyciel dynastii Seldżuków, uczynił Esfahan stolicą swoich włości, a jego wnuk Malik-Shah był władcą tego miasta od 1073 roku. Zaproszenie do Khayyama zostało wysłane przez Malik-Shaha i jego wezyra Nizama al-Mulka, którzy poprosili Khayyama, aby udał się do Esfahanu i założył tam obserwatorium. Inni czołowi astronomowie również zostali sprowadzeni do obserwatorium w Esfahanie i przez 18 lat Khayyam przewodził naukowcom i tworzył prace o wybitnej jakości. Był to okres pokoju, podczas którego sytuacja polityczna pozwoliła Khayyamowi na całkowite poświęcenie się pracy naukowej.
W tym czasie Khayyam prowadził prace nad kompilacją tablic astronomicznych, a także przyczynił się do reformy kalendarza w 1079 roku. Cowell cytuje The Calcutta Review No 59:-
Kiedy Malik Shah postanowił zreformować kalendarz, Omar był jednym z ośmiu uczonych ludzi zatrudnionych do tego, wynik był Jalali era (tak zwany od Jalal-ud-din, jeden z imion króla) – 'obliczenie czasu,' mówi Gibbon, 'który przewyższa Julian, i zbliża się do dokładności stylu gregoriańskiego.'
Khayyam zmierzył długość roku jako 365,24219858156 dni. Dwa komentarze na temat tego wyniku. Po pierwsze pokazuje niesamowitą pewność siebie, aby spróbować podać wynik do tego stopnia dokładności. My znać teraz że the długość the rok zmieniać w the szósty decimal miejsce przez osoba’s życie. Po drugie, jest to wybitnie dokładne. Dla porównania długość roku pod koniec XIX wieku wynosiła 365,242196 dni, podczas gdy dziś jest to 365,242190 dni.
W 1092 roku wydarzenia polityczne zakończyły okres pokojowej egzystencji Khayyama. Malik-Shah zmarł w listopadzie tego roku, miesiąc po tym, jak jego wezyr Nizam al-Mulk został zamordowany na drodze z Esfahanu do Bagdadu przez ruch terrorystyczny zwany Asasynami. Druga żona Malik-Shaha przejęła władzę na dwa lata, ale pokłóciła się z Nizamem al-Mulkiem, więc teraz ci, których on wspierał, znaleźli to wsparcie wycofane. Skończyły się fundusze na prowadzenie Obserwatorium, a reforma kalendarza Khayyama została wstrzymana. Khayyam stał się również obiektem ataków ze strony ortodoksyjnych muzułmanów, którzy uważali, że pytający umysł Khayyama nie jest zgodny z wiarą. Napisał on w swoim poemacie Rubajjat:
Prawda, Idole, których kochałem tak długo
Zrobili mi wiele złego w oczach ludzi:
Utopili mój honor w płytkim kielichu,
I sprzedali moją reputację za Pieśń.
Pomimo braku przychylności z każdej strony, Khayyam pozostał na dworze i próbował odzyskać przychylność. Napisał pracę, w której opisał byłych władców Iranu jako ludzi wielkiego honoru, którzy wspierali prace publiczne, naukę i stypendia.
Trzeci syn Malik-Shaha, Sanjar, który był gubernatorem Khorasanu, został władcą imperium Seldżuków w 1118 roku. Jakiś czas po tym Khayyam opuścił Esfahan i udał się do Merv (obecnie Mary, Turkmenistan), które Sanjar uczynił stolicą imperium Seldżuków. Sanjar stworzył w Merv wielki ośrodek islamskiej nauki, gdzie Khayyam napisał kolejne prace na temat matematyki.
Praca Khayyama jest wczesną pracą na temat algebry, napisaną przed jego słynnym tekstem o algebrze. Rozważa on w niej następujący problem:-
Znajdź punkt na czworokącie okręgu w taki sposób, że gdy z tego punktu spuści się normalną na jeden z promieni, stosunek długości normalnej do długości promienia jest równy stosunkowi odcinków wyznaczonych przez stopę normalnej.
Khayyam pokazuje, że ten problem jest równoważny rozwiązaniu drugiego problemu:-
Znajdź trójkąt prosty mający tę własność, że przeciwprostokątna jest równa sumie jednej nogi plus wysokości na przeciwprostokątnej.
Ten problem z kolei doprowadził Khayyama do rozwiązania równania sześciennego x3+200x=20×2+2000x^{3} + 200x = 20x^{2} + 2000×3+200x=20×2+2000 i znalazł dodatni pierwiastek z tego sześcianu rozważając przecięcie prostokątnej hiperboli z okręgiem. Przybliżone rozwiązanie numeryczne zostało następnie znalezione przez interpolację w tablicach trygonometrycznych. Być może jeszcze bardziej niezwykły jest fakt, że Khayyam stwierdza, że rozwiązanie tego sześcianu wymaga użycia odcinków stożkowych i że nie może być rozwiązany za pomocą linijki i kompasu, wynik, który nie zostanie udowodniony przez kolejne 750 lat. Khayyam napisał również, że ma nadzieję podać pełny opis rozwiązywania równań sześciennych w późniejszej pracy :-
Jeśli nadarzy się okazja i uda mi się, podam wszystkie te czternaście form ze wszystkimi ich gałęziami i przypadkami, oraz jak odróżnić to, co jest możliwe lub niemożliwe, tak że zostanie przygotowana praca, zawierająca elementy, które są bardzo przydatne w tej sztuce.
I rzeczywiście Khayyam stworzył takie dzieło, Treatise on Demonstration of Problems of Algebra, które zawierało kompletną klasyfikację równań sześciennych z geometrycznymi rozwiązaniami znalezionymi za pomocą przecinających się odcinków stożkowych. W istocie Khayyam podaje interesującą historyczną relację, w której twierdzi, że Grecy nie pozostawili po sobie nic na temat teorii równań sześciennych. W istocie, jak pisze Khayyam, wkład wcześniejszych pisarzy, takich jak al-Mahani i al-Khazin, polegał na tłumaczeniu problemów geometrycznych na równania algebraiczne (co było w zasadzie niemożliwe przed pracami al-Khwarizmiego). Wydaje się jednak, że to sam Khayyam jako pierwszy stworzył ogólną teorię równań sześciennych. Khayyam napisał (patrz np. lub ):-
W nauce algebry napotyka się problemy zależne od pewnego rodzaju niezwykle trudnych twierdzeń wstępnych, których rozwiązanie nie powiodło się większości tych, którzy je próbowali. Jeśli chodzi o starożytnych, to nie dotarło do nas żadne ich dzieło zajmujące się tym tematem; być może po poszukiwaniu rozwiązań i po ich zbadaniu nie byli w stanie zgłębić swoich trudności; być może ich badania nie wymagały takiego badania; lub wreszcie ich dzieła na ten temat, jeśli istniały, nie zostały przetłumaczone na nasz język.
Innym osiągnięciem w tekście algebry jest uświadomienie sobie przez Khayyama, że równanie sześcienne może mieć więcej niż jedno rozwiązanie. Wykazał on istnienie równań mających dwa rozwiązania, ale niestety nie wydaje się, aby odkrył, że sześcian może mieć trzy rozwiązania. Miał jednak nadzieję, że „rozwiązania arytmetyczne” mogą zostać kiedyś znalezione, gdy pisał (zobacz na przykład):-
Może ktoś inny, kto przyjdzie po nas, znajdzie to w przypadku, gdy nie istnieją tylko trzy pierwsze klasy znanych potęg, mianowicie liczba, rzecz i kwadrat.
Tymi „kimś innym, kto przyjdzie po nas” byli w rzeczywistości del Ferro, Tartaglia i Ferrari w XVI wieku. Również w swojej książce o algebrze, Khayyam odnosi się do innego swojego dzieła, które obecnie jest zaginione. W zaginionej pracy Khayyam omawia trójkąt Pascala, ale nie był pierwszym, który to zrobił, ponieważ al-Karaji omówił trójkąt Pascala przed tą datą. W rzeczywistości możemy być dość pewni, że Khayyam używał metody znajdowania n-tych korzeni opartej na rozwinięciu dwumianowym, a więc na współczynnikach dwumianowych. Wynika to z następującego fragmentu w jego książce o algebrze (patrz np. lub ):-
Hindusi posiadają metody znajdowania boków kwadratów i sześcianów oparte na takiej wiedzy o kwadratach dziewięciu liczb, czyli kwadratach 1, 2, 3 itd. oraz iloczynach powstałych przez pomnożenie ich przez siebie, czyli iloczynach 2, 3 itd. Ułożyłem pracę, aby wykazać dokładność tych metod i udowodniłem, że prowadzą one do zamierzonego celu. Ponadto powiększyłem gatunek, to znaczy pokazałem, jak znaleźć boki kwadratu-sześcianu, quatro-sześcianu, kubo-sześcianu itd. do dowolnej długości, co do tej pory nie zostało zrobione. dowody, które przy tej okazji podałem, są tylko dowodami arytmetycznymi opartymi na arytmetycznych częściach „Elementów” Euklidesa.
W Komentarzach do trudnych postulatów Euklidesa Khayyam wniósł wkład do geometrii nieeuklidesowej, choć nie było to jego intencją. Próbując dowieść postulatu równoległości przypadkowo udowodnił własności figur w geometrii nieeuklidesowej. Khayyam podał w tej książce również ważne wyniki dotyczące stosunków, rozszerzając pracę Euklidesa o mnożenie stosunków. Znaczenie wkładu Khayyama jest to, że zbadał zarówno Euklidesa definicji równości stosunków (który był pierwszy zaproponowany przez Eudoxus) i definicję równości stosunków, jak zaproponowano przez wcześniejszych matematyków islamskich, takich jak al-Mahani, który był oparty na ułamków ciągłych. Khayyam udowodnił, że te dwie definicje są równoważne. Postawił również pytanie, czy stosunek może być uważany za liczbę, ale pozostawia je bez odpowiedzi.
Poza światem matematyki Khayyam jest najbardziej znany dzięki popularnemu tłumaczeniu Edwarda Fitzgeralda w 1859 r. prawie 600 krótkich czterowierszy Rubajjat. Sława Khayyama jako poety spowodowała, że niektórzy zapomnieli o jego osiągnięciach naukowych, które były znacznie bardziej znaczące. Wersje form i wersów użytych w Rubajjacie istniały w literaturze perskiej przed Chajjamem, a tylko około 120 wersów można z całą pewnością przypisać jemu. Spośród wszystkich wersów najbardziej znany jest następujący:-
Ruchomy palec pisze, a napisawszy,
Rusza dalej: ani cała twoja pobożność, ani dowcip
Nie zwabi go z powrotem, by anulować pół linijki,
ani wszystkie twoje łzy nie zmyją z niego ani słowa.