2.8 Autokorelacja
Tak jak korelacja mierzy zakres liniowej zależności pomiędzy dwiema zmiennymi, autokorelacja mierzy liniową zależność pomiędzy opóźnionymi wartościami szeregu czasowego.
Istnieje kilka współczynników autokorelacji, odpowiadających każdemu panelowi na wykresie opóźnień. Na przykład, \(r_{1}}) mierzy zależność pomiędzy \(y_{t}} a \(y_{t-1}}, \(r_{2}}) mierzy zależność pomiędzy \(y_{t}} a \(y_{t-2}}), i tak dalej.
Wartość współczynnika autokorelacji dla danych dotyczących produkcji piwa można zapisać jako \u200, gdzie \u200 jest długością szeregu czasowego.
Pierwszych dziewięć współczynników autokorelacji dla danych dotyczących produkcji piwa przedstawiono w poniższej tabeli.
| (r_1\) | (r_2\) | (r_3\) | (r_4\) | (r_5\) | (r_5\) | (r_6\) | (r_7\) | (r_8\) | (r_9\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| -.0.102 | -0,657 | -0,060 | 0,869 | -0,089 | -0,635 | -0,054 | 0,832 | -0.108 |
Odpowiadają one dziewięciu wykresom rozproszonym na rysunku 2.13. Współczynniki autokorelacji są wykreślane w celu przedstawienia funkcji autokorelacji lub ACF. Wykres ten jest również znany jako korelogram.
ggAcf(beer2)
Rysunek 2.14: Funkcja autokorelacji kwartalnej produkcji piwa.
Na tym wykresie:
- r_{4} jest wyższa niż dla pozostałych opóźnień. Wynika to z sezonowego wzorca w danych: szczyty są zazwyczaj oddalone od siebie o cztery kwartały, a koryta o cztery kwartały.
- ˆ(r_{2}}} jest bardziej ujemna niż dla innych opóźnień, ponieważ koryta są zazwyczaj oddalone o dwa kwartały od szczytów.
- Przerywane niebieskie linie wskazują, czy korelacje są znacząco różne od zera. Są one wyjaśnione w sekcji 2.9.
Trend i sezonowość na wykresach ACF
Gdy dane mają trend, autokorelacje dla małych opóźnień mają tendencję do bycia dużymi i dodatnimi, ponieważ obserwacje bliskie w czasie są również bliskie pod względem wielkości. Tak więc ACF trendowanych szeregów czasowych ma tendencję do dodatnich wartości, które powoli zmniejszają się wraz ze wzrostem opóźnień.
Gdy dane są sezonowe, autokorelacje będą większe dla opóźnień sezonowych (przy wielokrotności częstotliwości sezonowej) niż dla innych opóźnień.
Gdy dane są zarówno trendowane jak i sezonowe, można zaobserwować kombinację tych efektów. Miesięczne zapotrzebowanie na energię elektryczną w Australii, przedstawione na rysunku 2.15, wykazuje zarówno trend, jak i sezonowość. Jego ACF jest pokazany na rysunku 2.16.
aelec <- window(elec, start=1980)autoplot(aelec) + xlab("Year") + ylab("GWh")
Rysunek 2.15: Miesięczne zapotrzebowanie na energię elektryczną w Australii w latach 1980-1995.
ggAcf(aelec, lag=48)Wykres 2.16: ACF miesięcznego zapotrzebowania na energię elektryczną w Australii.
Powolny spadek ACF wraz ze wzrostem opóźnień wynika z trendu, natomiast kształt „przegięty” wynika z sezonowości.
Wykres 1.