W mechanice newtonowskiej, dla jednowymiarowego ruchu harmonicznego prostego, równanie ruchu, które jest równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym drugiego rzędu o stałych współczynnikach, można otrzymać za pomocą II prawa Newtona i prawa Hooke’a dla masy na sprężynie.

F n e t = m d 2 x d t 2 = – k x , {displaystyle F_{mathrm {net} }=m{frac {{mathrm {d} ^{2}x}{{mathrm {d} t^{2}}}}=-kx,}

gdzie m jest masą bezwładną ciała drgającego, x jest jego przemieszczeniem od położenia równowagi (lub średniego), a k jest stałą (stałą sprężystości dla masy na sprężynie).

Dlatego,

d 2 x d t 2 = – k m x , { {displaystyle {frac {d} ^{2}x}{{mathrm {d} t^{2}}}}=-{mathrm {k}{m}}x,}

Rozwiązując powyższe równanie różniczkowe otrzymujemy rozwiązanie, które jest funkcją sinusoidalną:

x ( t ) = c 1 cos ( ω t ) + c 2 sin ( ω t ) , { {displaystyle x(t)=c_{1}cos \left(\omega t\right)+c_{2}sin \left(\omega t\right),\qquad }

gdzie ω = k m . {{displaystyle \quad \omega ={sqrt {\frac {k}{m}}}.}

Znaczenie stałych c 1 {{displaystyle c_{1}}}

i c 2 {displaystyle c_{2}}

można łatwo znaleźć: ustawiając t = 0 {{displaystyle t=0}}

na powyższym równaniu widzimy, że x ( 0 ) = c 1 {{displaystyle x(0)=c_{1}}

, zatem c 1 {{displaystyle c_{1}}

jest położeniem początkowym cząstki, c 1 = x 0 {{displaystyle c_{1}=x_{0}}

; biorąc pochodną tego równania i oceniając w zerze otrzymujemy, że x ˙ ( 0 ) = ω c 2 {displaystyle {{dot {x}}(0)=omega c_{2}}

, zatem c 2 {{displaystyle c_{2}}

jest prędkością początkową cząstki podzieloną przez częstotliwość kątową, c 2 = v 0 ω {{displaystyle c_{2}={frac {v_{0}}{}omega }}

. Możemy więc napisać: x ( t ) = x 0 cos ( k m t ) + v 0 k m sin ( k m t ) . {{displaystyle x(t)=x_{0}}cos }left({sqrt {k}{m}}t}right)+{sqrt {v_{0}}{sqrt {k}{m}} sin }left({sqrt {k}{m}}t}right).}

Równanie to można również zapisać w postaci:

x ( t ) = A cos ( ω t – φ ) , {

gdzie

A = c 1 2 + c 2 2 , tan φ = c 2 c 1 , {displaystyle A={sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},\quad \tan \varphi ={frac {c_{2}}{c_{1}}},}

W rozwiązaniu, c1 i c2 są dwiema stałymi określonymi przez warunki początkowe (konkretnie, położenie początkowe w czasie t = 0 wynosi c1, natomiast prędkość początkowa wynosi c2ω), a początek jest ustalony jako położenie równowagi. Każda z tych stałych niesie ze sobą fizyczne znaczenie ruchu: A to amplituda (maksymalne przemieszczenie z położenia równowagi), ω = 2πf to częstość kątowa, a φ to faza początkowa.

Korzystając z technik rachunku, można znaleźć prędkość i przyspieszenie w funkcji czasu:

v ( t ) = d x d t = – A ω sin ( ω t – φ ) , {

displaystyle v(t)={frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}=-Aromega \sin(\omega t-\varphi )}

Prędkość:

ω A 2 – x 2 {{sqrt {A^{2}}-x^{2}}}}

Prędkość maksymalna: v=ωA (w punkcie równowagi)

a ( t ) = d 2 x d t 2 = – A ω 2 cos ( ω t – φ ) . a(t)={{mathrm {d} ^{2}x}{}{mathrm {d} t^{2}}}}= A ω 2 cos ( ^{2} t – φ ).}

Przyspieszenie maksymalne: Aω2 (w punktach ekstremalnych)

Z definicji wynika, że jeśli masa m znajduje się pod działaniem SHM to jej przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do przemieszczenia.

a ( x ) = – ω 2 x . {{displaystyle a(x)=- ^{2}x.}