Siatka tesseraktu
Aby zrozumieć naturę przestrzeni czterowymiarowej, powszechnie stosuje się urządzenie zwane analogią wymiarową. Analogia wymiarowa to badanie, jak (n – 1) wymiary odnoszą się do n wymiarów, a następnie wnioskowanie, jak n wymiarów odnosiłoby się do (n + 1) wymiarów.
Analogia wymiarowa została wykorzystana przez Edwina Abbotta Abbotta w książce Flatland, która opowiada historię o kwadracie, który żyje w dwuwymiarowym świecie, jak powierzchnia kartki papieru. Z perspektywy tego kwadratu, trójwymiarowa istota ma pozornie boskie moce, takie jak zdolność do wyjmowania przedmiotów z sejfu bez jego otwierania (poprzez przesuwanie ich w trzecim wymiarze), widzenia wszystkiego, co z perspektywy dwuwymiarowej jest zamknięte za ścianami, oraz pozostawania całkowicie niewidzialnym, stojąc kilka cali dalej w trzecim wymiarze.
Stosując analogię wymiarową, można wywnioskować, że istota czterowymiarowa byłaby zdolna do podobnych wyczynów z perspektywy trójwymiarowej. Rudy Rucker ilustruje to w swojej powieści Spaceland, w której bohater spotyka czterowymiarowe istoty, które demonstrują takie moce.
PrzekrojeEdit
Jak trójwymiarowy obiekt przechodzi przez dwuwymiarową płaszczyznę, dwuwymiarowe istoty w tej płaszczyźnie obserwowałyby tylko przekrój trójwymiarowego obiektu w tej płaszczyźnie. Na przykład, gdyby kulisty balonik przeszedł przez kartkę papieru, istoty w kartce zobaczyłyby najpierw pojedynczy punkt, a następnie stopniowo powiększające się koło, aż do osiągnięcia średnicy balonika, a następnie znowu zmniejszające się, aż do skurczenia się do punktu i zniknięcia. Podobnie, gdyby czterowymiarowy obiekt przeszedł przez trójwymiarową (hiper)powierzchnię, można by zaobserwować trójwymiarowy przekrój czterowymiarowego obiektu – na przykład, czterosfera pojawiłaby się najpierw jako punkt, potem jako rosnąca kula, a następnie kula skurczyłaby się do pojedynczego punktu i zniknęła. Ten sposób wizualizacji aspektów czwartego wymiaru został użyty w powieści Flatland, a także w kilku pracach Charlesa Howarda Hintona.:11-14
ProjekcjeEdit
Przydatnym zastosowaniem analogii wymiarowej w wizualizacji wyższych wymiarów jest projekcja. Rzutowanie jest sposobem reprezentowania n-wymiarowego obiektu w n – 1 wymiarze. Na przykład, ekrany komputerów są dwuwymiarowe, a wszystkie zdjęcia trójwymiarowych ludzi, miejsc i rzeczy są reprezentowane w dwóch wymiarach poprzez rzutowanie obiektów na płaską powierzchnię. W ten sposób wymiar ortogonalny do ekranu (głębia) zostaje usunięty i zastąpiony informacją pośrednią. Siatkówka oka jest również dwuwymiarowym układem receptorów, ale mózg jest w stanie postrzegać naturę obiektów trójwymiarowych poprzez wnioskowanie z informacji pośrednich (takich jak cieniowanie, skracanie perspektywy, widzenie obuoczne, itp.) Artyści często używają perspektywy, aby nadać złudzenie trójwymiarowej głębi dwuwymiarowym obrazom. Cień, rzucany przez fikcyjny model siatki obracającego się tesseraktu na płaskiej powierzchni, jak pokazano na rysunkach, jest również wynikiem projekcji.
Podobnie, obiekty w czwartym wymiarze mogą być matematycznie rzutowane do znanych nam trzech wymiarów, gdzie mogą być wygodniej badane. W tym przypadku, „siatkówka” czterowymiarowego oka jest trójwymiarowym układem receptorów. Hipotetyczna istota z takim okiem postrzegałaby naturę czterowymiarowych obiektów poprzez wnioskowanie o czterowymiarowej głębi z pośredniej informacji zawartej w trójwymiarowych obrazach w jej siatkówce.
Perspektywiczna projekcja trójwymiarowych obiektów na siatkówkę oka wprowadza artefakty takie jak skracanie, które mózg interpretuje jako głębię w trzecim wymiarze. W ten sam sposób rzutowanie perspektywiczne z czterech wymiarów wywołuje podobne efekty skrótów. Stosując analogię wymiarową, można wywnioskować czterowymiarową „głębię” z tych efektów.
Jako ilustrację tej zasady, poniższa sekwencja obrazów porównuje różne widoki trójwymiarowego sześcianu z analogicznymi projekcjami czterowymiarowego tesseraktu w przestrzeń trójwymiarową.
| Sześcian | Teserakt | Opis |
|---|---|---|
| Obraz po lewej stronie to sześcian widziany twarzą w twarz. Analogiczny punkt widzenia tesseraktu w 4 wymiarach to projekcja w perspektywie pierwszej komórki, pokazana po prawej stronie. Można narysować analogię między tymi dwoma: tak jak sześcian rzutuje na kwadrat, tak tesserakt rzutuje na sześcian.
Zauważ, że pozostałe 5 ścian sześcianu nie jest tutaj widoczne. Są one przesłonięte przez widoczną ścianę. Podobnie, pozostałe 7 komórek tesseraktu nie są tutaj widoczne, ponieważ są zasłonięte przez widoczną komórkę. |
||
| Obraz po lewej stronie pokazuje ten sam sześcian oglądany od strony krawędzi. Analogicznym punktem widzenia tesseraktu jest projekcja perspektywiczna face-first, pokazana po prawej stronie. Tak jak projekcja edge-first sześcianu składa się z dwóch trapezów, projekcja face-first tesseraktu składa się z dwóch frustum.
Najbliższa krawędź sześcianu w tym ujęciu to ta leżąca pomiędzy czerwoną i zieloną ścianą. Podobnie, najbliższą ścianą tesseraktu jest ta leżąca pomiędzy czerwonymi i zielonymi komórkami. |
||
| Po lewej stronie znajduje się sześcian widziany jako narożnik pierwszy. Jest to analogiczne do projekcji perspektywicznej edge-first tesseraktu, pokazanej po prawej stronie. Tak jak rzut wierzchołka sześcianu składa się z 3 deltoidów otaczających wierzchołek, tak rzut krawędzi tesseraktu składa się z 3 sześciościennych objętości otaczających krawędź. Tak jak najbliższym wierzchołkiem sześcianu jest ten, w którym spotykają się trzy ściany, tak najbliższą krawędzią tesseraktu jest ta w środku objętości projekcyjnej, w której spotykają się trzy komórki. | ||
| Inną analogię można narysować pomiędzy projekcją edge-first tesseraktu a projekcją edge-first sześcianu. Krawędź-pierwszy rzut sześcianu ma dwa trapezy otaczające krawędź, podczas gdy tesserakt ma trzy sześciościenne objętości otaczające krawędź. | ||
| Po lewej stronie jest sześcian widziany jako narożnik-pierwszy. Rzut perspektywiczny tesseraktu na wierzchołek pierwszy pokazany jest po prawej. Rzutowanie wierzchołkowe sześcianu ma trzy czworościany otaczające wierzchołek, ale rzutowanie wierzchołkowe tesseraktu ma cztery sześciościany otaczające wierzchołek. Tak jak najbliższy narożnik sześcianu to ten leżący w środku obrazu, tak najbliższy wierzchołek tesseraktu nie leży na granicy rzutowanej objętości, ale w jej środku wewnątrz, gdzie wszystkie cztery komórki się spotykają.
Zauważ, że tylko trzy twarze z 6 twarzy sześcianu mogą być tutaj widoczne, ponieważ pozostałe 3 leżą za tymi trzema twarzami, po przeciwnej stronie sześcianu. Podobnie, tylko 4 z 8 komórek tesseraktu można zobaczyć tutaj; pozostałe 4 leżą za tymi 4 w czwartym kierunku, na dalekiej stronie tesseraktu. |
CienieEdit
Koncepcją ściśle związaną z projekcją jest rzucanie cieni.
Jeśli światło pada na trójwymiarowy obiekt, rzucany jest dwuwymiarowy cień. Przez analogię wymiarową, światło rzucone na dwuwymiarowy obiekt w dwuwymiarowym świecie rzucałoby jednowymiarowy cień, a światło na jednowymiarowy obiekt w jednowymiarowym świecie rzucałoby zero-wymiarowy cień, czyli punkt nieoświetlony. Idąc w drugą stronę, można wywnioskować, że światło padające na czterowymiarowy obiekt w czterowymiarowym świecie rzucałoby trójwymiarowy cień.
Jeżeli szkielet sześcianu jest oświetlony z góry, to cień na płaskiej dwuwymiarowej powierzchni jest kwadratem w kwadracie z połączonymi odpowiednimi narożnikami. Podobnie, gdyby szkielet tesseraktu był oświetlony z „góry” (w czwartym wymiarze), jego cień byłby trójwymiarowym sześcianem w innym trójwymiarowym sześcianie zawieszonym w powietrzu (płaska powierzchnia z perspektywy czterowymiarowej). (Zauważ, że technicznie, wizualna reprezentacja pokazana tutaj jest w rzeczywistości dwuwymiarowym obrazem trójwymiarowego cienia czterowymiarowej figury drucianej.)
Objętości graniczneEdit
Analogia wymiarowa pomaga również we wnioskowaniu o podstawowych właściwościach obiektów w wyższych wymiarach. Na przykład, obiekty dwuwymiarowe są ograniczone przez jednowymiarowe granice: kwadrat jest ograniczony przez cztery krawędzie. Obiekty trójwymiarowe są ograniczone przez dwuwymiarowe powierzchnie: sześcian jest ograniczony przez 6 kwadratowych ścian. Stosując analogię wymiarową, można wywnioskować, że czterowymiarowy sześcian, znany jako tesserakt, jest ograniczony przez trójwymiarowe objętości. I rzeczywiście, tak jest: matematyka pokazuje, że tesserakt jest ograniczony przez 8 sześcianów. Wiedza o tym jest kluczem do zrozumienia, jak interpretować trójwymiarowy rzut tesseraktu. Granice tesseraktu rzutują na objętości w obrazie, a nie tylko na dwuwymiarowe powierzchnie.
Zakres wizualnyEdit
Ludzie mają przestrzenne postrzeganie siebie jako istot w przestrzeni trójwymiarowej, ale są wizualnie ograniczeni do jednego wymiaru mniej: oko widzi świat jako projekcję do dwóch wymiarów, na powierzchni siatkówki. Zakładając, że istota czterowymiarowa byłaby w stanie widzieć świat w projekcji na hiperpowierzchnię, również tylko o jeden wymiar mniejszą, tj. do trzech wymiarów, byłaby w stanie widzieć np. jednocześnie wszystkie sześć boków nieprzezroczystego pudełka, a właściwie to, co jest w środku pudełka, tak jak ludzie widzą wszystkie cztery boki i jednocześnie wnętrze prostokąta na kartce papieru. Istota byłaby w stanie dostrzec jednocześnie wszystkie punkty w trójwymiarowej podprzestrzeni, w tym wewnętrzną strukturę masywnych trójwymiarowych obiektów, rzeczy zasłonięte z ludzkiego punktu widzenia w trzech wymiarach na dwuwymiarowych projekcjach. Mózg odbiera obrazy w dwóch wymiarach i używa rozumowania, aby pomóc w wyobrażeniu sobie trójwymiarowych obiektów.